数据结构--树状数组

证明参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/297885717（抄的）

树状数组支持的操作：单点修改，区间查询（仅限于支持减法的操作，不支持的例子：max）

树状数组定义：定义C[ i ] 表示的是A [ i - lowbit(i) ] + 1  ~~   A[ i ] 之间的数据。

C[ i ]的父节点为C[ i + lowbot ( i ) ]

C[ i ]的子节点有C[ i - lowbit(i) ] , C[i - lowbit(i) -lowbit ( i - lowbit ( i ) ) ].........

术语定义：对于一个点 i ，其覆盖的点的左端点记为L(i) , L(i) = i - lowbit( i )

　　　　　对于任意正整数x，x=a*2^(i+1) + 2^i，其中a>=0,i>=0，则lowbit(x)=2^i

要证：（1）x+lowbit(x)能够覆盖x

　　　（2）x~x+lowbit(x)之间不存在能够覆盖x的数

　　　　那么 i 的父节点是 i+lowbit(i) 得证。　　　

　　　（3）1<=x<=y<=z，y覆盖x，z覆盖y，那么z覆盖x

　　　（4）对于一个数x，覆盖的数有且仅有x , x-lowbit(x) , x-lowbit(x) - lowbit( x-lowbit(x) ).....

　　　　那么 i 的子节点得证。

　　　　【分析】因为具有传递覆盖的性质，且x覆盖的区间的并集是1~x，故得证。

证明：（1）设x=a*2^(i+1)+2^i，则y=x+lowbit(x) = a*2^(i+1)+2^i+2^i = (a+1)*2^(i+1)

　　　　　所以 lowbit(y) >= 2^(i+1) 

　　　　　x-L(y) = x  - (x+lowbit(x) - lowbit(y) +1)

　　　　　　　　=lowbit(y) - lowbit(x) - 1

　　　　　　　　>=2^(i+1)-2^i - 1 

　　　　　　　　=2^i - 1 >= 0

　　　　故L(y)>=x，即y覆盖x，C[ i+lowbit(i) ]确实可以完全覆盖 C[ i ]

　　　　（2）设x<y,要证明对于任意的x<z<y,z不覆盖x

　　　　　　y=x+lowbit(x)=x + 2^i

　　　　　　由于x < z < y，因此z=x+b，其中b的范围是[1, 2^i-1]

　　　　　　显然lowbit(z) = lowbit(b)

　　　　　　又由于b >= lowbit(b)

　　　　　　因此L(z) = z-lowbit(z)+1=x+b-lowbit(b)+1>=x+1>x

　　　　（3）设1<=x<=y<=z，若y覆盖x，z覆盖y，那么z覆盖x

　　　　　　可证[L(y),y]属于[L(z),z]，那么因为x属于[L(y),y]，z覆盖x得证。

　　　　　　z可以表示为a*2^(i+1)+2^i， 其中lowbit(z) = 2^i，L(z) = a*2^(i+1)+1

　　　　　　因为z覆盖y，则y>=L(z)=a*2^(i+1)+1， 并且y<=z = a*2^(i+1)+2^i，

　　　　　　所以y可以表示为y=a*2^(i+1)+b ，其中b的取值范围是[1,2^i]；

　　　　　　所以lowbit(y) = lowbit(b)

　　　　　　并且显然有b-lowbit(b)>= 0

　　　　　　因此可得L(y)=y-lowbit(y)+1=a*2^(i+1)+b-lowbit(b)+1

　　　　　　>=a*2^(i+1)+1=L(z)

　　　　　　即L(y)>=L(z)

　　　　　　又由于y<=z

　　　　　　因此区间[L(y]),y] 属于区间[L(z),z]

　　　　　　又由于x属于[L(y),y]，因此x也属于区间[L(z),z]，即z覆盖x；

　　　　　　证明完毕。

　　　　（4）对于任意正整数x，覆盖x的所有整数有且仅有x，x+lowbit(x)，x+lowbit(x)+lowbit(x+lowbit(x))，...

　　　　　　这一序列用p来表示，即p(0)，p(1)，p(2)，p(3)，...

　　　　　　其中p(0) = x，当i>0时，p(i) = p(i-1)+lowbit(p(i-1))

　　　　　　命题可以拆开为2部分，第一部分是p序列中任意数都覆盖x，第二部分是任意不在p序列的数字都不覆盖x，接下来分别对两部分进行证明。

　　　　　　第一部分，p序列中任意数都覆盖x；

　　　　　　使用数学归纳法证明，

　　　　　　当i=0时，p(0)=x，显然p(0)覆盖x;

　　　　　　假设i=k时，p(k)覆盖x；

　　　　　　当i=k+1时，由p序列定义可知p(k+1)=p(k)+lowbit(p(k))，由反向覆盖性质可知，p(k+1)覆盖p(k)，另外p(k)覆盖x，由覆盖的传递性质可知，p(k+1)也覆盖x；

　　　　　　第二部分是，任意不在p序列的整数都不覆盖x；

　　　　　　也就是区间序列[1,p(0))，(p(0),p(1))，(p(1),p(2))，(p(2),p(3))，…… 中任意正整数都不覆盖x，因此只需要证明任意一个区间中的任意正整数都不覆盖x即可；

　　　　　　对于区间[1,p(0))的任意整数y，y<p(0)，即y<x，显然y不覆盖x;

　　　　　　设i是序列p中任意下标，接下来证明任意正整数y都不覆盖x，其中y属于区间(p(i),p(i+1))；

　　　　　　由反向覆盖的排他性可知，y不覆盖p(i)，并且L(y)>p(i)，又由于p(i)>=x，因此L(y)>x，即y也不覆盖x；

　　　　　　证明完毕。

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下面简述单点修改和区间查询的具体操作。

  

查询1~x的和：

int query(int x){
    int sum=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
        sum+=tr[i];
    }
    return sum;
}

修改x点的值：

void add(int x,int y){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        tr[i]+=y;
    }
}

lowbit函数：

　　假设x=a*2^(i+1)+2^i，lowbit(i)=2^i，根据计算机内整数是以补码存储的特性

int lowbit(int x){
    return x&-x;
}

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 例题：https://www.acwing.com/problem/content/1266/

单点查询，区间修改。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],tr[N];
int n,m;
int lowbit(int x){
    return x&-x;
}
void add(int x,int y){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        tr[i]+=y;
    }
}
int query(int x){
    int sum=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
        sum+=tr[i];
    }
    return sum;
}
int main()
{

    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        add(i,a[i]);
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        int k,x,y;
        cin>>k>>x>>y;
        if(k==0) cout<<query(y)-query(x-1)<<endl;
        else if(k==1) add(x,y);
    }
    return 0;
}

若是每次操作是将一个数变为另一个数，则还需要维护a数组，这样的话就方便计算出差值。

另：树状数组本质上是只能完成单点修改区间查询的操作，但是结合一些方法还是能够得到较好的应用的。

　　比如结合差分便可实现区间修改，单点查询。