算法提高--数字三角形模型

https://www.acwing.com/problem/content/900/

 注意处理边界即可。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=510;
int a[N][N],f[N][N];
int n;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            if(j==1){
                f[i][j]=f[i-1][j]+a[i][j];
            }else if(j==i){
                f[i][j]=f[i-1][j-1]+a[i][j];
            }else{
                f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j];
            }
        }
    }
    int res=-10000*510;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[n][i]);
    cout<<res;
    return 0;
}

扩展1：将区域扩展为矩形----摘花生

https://www.acwing.com/problem/content/1017/

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=110;
int w[N][N];
int f[N][N];
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--){
        memset(f,0,sizeof f);
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                cin>>w[i][j];
            }
        }
        f[1][1]=w[1][1];
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                if(i!=1) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]+w[i][j]);
                if(j!=1) f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-1]+w[i][j]);
            }
        }
        cout<<f[n][m]<<endl;
    }
    return 0;
}

扩展2：最低通行费，给定步数为2*n-1，而区域大小为n*n，故同摘花生。

　　　 但因为目标是获得最小值，故注意初始化。

https://www.acwing.com/problem/content/1020/

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110,INF = 0x3f3f3f3f;
int w[N][N];
int f[N][N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cin>>w[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            f[i][j]=INF;
            if(i==1&&j==1) f[i][j]=w[i][j];
            else{
                if(i!=1) f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j]+w[i][j]);
                if(j!=1) f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j-1]+w[i][j]);
            }
        }
    }
    cout<<f[n][n];
    return 0;
}

扩展3：方格取数，或称为传纸条，题设同样为矩形，两条从左上到右下的路线，因为权值均大于0，所以二者都是两条路线不重合。

　　　　目标是使得权值最大。

https://www.acwing.com/problem/content/1029/

　　

只需要在每次转移的时候判断两点是否重合即可。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 15;
int w[N][N];
int f[N][N][N][N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    int a,b,c;
    while(cin>>a>>b>>c,a||b||c) w[a][b]=c;
    for(int i1=1;i1<=n;i1++){
        for(int j1=1;j1<=n;j1++){
            for(int i2=1;i2<=n;i2++){
                for(int j2=1;j2<=n;j2++){
                    int & x= f[i1][j1][i2][j2];
                    int t=w[i1][j1];
                    if(i1!=i2&&j1!=j2)
                        t+=w[i2][j2];
                    x=max(x,f[i1-1][j1][i2-1][j2]+t);
                    x=max(x,f[i1][j1-1][i2-1][j2]+t);
                    x=max(x,f[i1-1][j1][i2][j2-1]+t);
                    x=max(x,f[i1][j1-1][i2][j2-1]+t);

                }
            }
        }
    }
    cout<<f[n][n][n][n]<<endl;
    return 0;
}

又因为步数+横坐标即可唯一确定位置，所以我们可以优化掉一维。

f [ k ] [ i1 ] [ i2 ]表示经过k步后，第一条停在( i1 , k - i1)的位置，第二条停在( i2 , k - i2)的位置。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 15;
int w[N][N];
int f[N*2][N][N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    int a,b,c;
    while(cin>>a>>b>>c,a||b||c) w[a][b]=c;
    for(int k=2;k<=n+n;k++){
        for(int i1=1;i1<=n;i1++){
            for(int i2=1;i2<=n;i2++){
                int j1=k-i1;
                int j2=k-i2;
                int & x= f[k][i1][i2];
                int t=w[i1][j1];
                if(i1!=i2&&j1!=j2)
                    t+=w[i2][j2];
                x=max(x,f[k-1][i1-1][i2-1]+t);
                x=max(x,f[k-1][i1-1][i2]+t);
                x=max(x,f[k-1][i1][i2-1]+t);
                x=max(x,f[k-1][i1][i2]+t);
            }
        }
    }
    cout<<f[n+n][n][n]<<endl;
    return 0;
}