【2018牛客多校Round 5 B】div

题意

一个数是好的，当且仅当n^4 在[n^2+1,n2+2*n]之间有一个约数
给定m,求 >=m 的最小的好的n
1 <= m <= 10^(1000)

分析

辣鸡数学苦手，靠研究题解勉强搞懂了递推公式的来源（被初中解方程卡住也真是傻逼了），这里就趁着思路还比较清晰，写下详细的推导过程

首先这个题用到的一个知识点是佩尔方程 , 可以看看电子科技大学算法讲堂

佩尔方程能解决的问题是形如 x^2 - d×y^2 = 1 的无限解集递归公式

设 n^2+a (1≤a≤2n)是n^4 的一个约数
因为 n^2+a 也能被(n^2+a)(n2-a)整除
那么 n^2+a 也能被 n^4 - (n^2+a)(n2-a) = a^2 整除
所以 a^2 = t(n^2+a)
因为 a≤2n 所以 a^2 ≤ 4(n^2)
放缩一下 a^2 < 4(n^2+a)
所以t = 1,2,3
分类讨论

1. t = 1
   a^2 = n^2 + a
   即 a(a-1) = n^2
   无解
2. t = 2
   (a-1)^2 - 2(n^2)=1
   令 x = a-1，y =n
   满足佩尔方程形式
   x_n = x_(n-1) * x_1 + y_(n-1) * y_1
   y_n = x_(n-1) * y_1 + x_1 * y_(n-1)
   此处 x_1 = 3 , y_1 = 2
   上式变为
   x_n = 3 * x_(n-1) + 2 * y_(n-1)
   y_n = 2 * x_(n-1) + 3 * y_(n-1)
   用初中数学知识，将二式中的x用y表示，带入一式，即可得到递推表达式
   y_n = 6 * y_(n-1) -y(n-2) 即为满足条件的n的递推公式
3. t = 3
   a^2 = 3*n^2 + 3*a
   令a = 3b
   3 *b²⁼ⁿ2+3b
   令n = 3m
   b^2 = 3m^2 + b
   移项配方
   (2b-1)^2 = 12*m^2+1
   令 x = 2b-1 = (2/3)a-1,y =m = n/3
   同样满足佩尔方程形式
   初始值 x_1 = 7,y_1 = 2
   所以能推出
   y_n = 14*y_(n-1)-y_(n-2)
   左右乘3就可以得到n的递推式子

在t = 2 和 t = 3 分别枚举一下，找到第一个大于m的n，输出两者较小值
由于这里的数据范围10^1000,所以需要高精度
因为区域赛已经支持python了，所以直接上py代码

代码

m = int(input())
n0,n1 = 0,2
while n1 < m:
    t = n1
    n1 = 6*n1-n0
    n0 = t
ans1 = n1
n0 ,n1 = 0,6
while n1 < m:
    t = n1
    n1 = 14*n1 - n0
    n0 = t
if(ans1 < n1) :
    print(ans1)
else:
    print(n1)