文本比较算法Ⅶ——线性空间求最长公共子序列的Nakatsu算法

　　在参阅《A Longest Common Subsequence Algorithm Suitable for Similar Text Strings》（Narao Nakatsu，Yahiko Kambayashi，Shuzo Yajima著）后。发现该算法可以利用线性空间求出最长公共子序列。该算法的时间占用O（n（m-p+1）），p为最长公共子序列的长度。

　　字符串A和字符串B，计算LCS(A,B)

　　定义一：设M=Len(A)，N=Len(B)，不妨设M≤N。

　　定义二：A=a₁a₂……a_M，表示A是由a₁a₂……a_M这M个字符组成

　　　　　　B=b₁b₂……b_N，表示B是由b₁b₂……b_N这N个字符组成

　　　　　　LCS(i,j)=LCS(a₁a₂……a_i,b₁b₂……b_j)，其中1≤i≤M，1≤j≤N

　　定义三：L(k,i)表示，所有与字符串a₁a₂……a_i有长度为k的LCS的字符串b₁b₂……b_j中j的最小值。

　　　　　　用公式表示就是：L(k,i)=Min｛j｝ Where LCS(i,j)=k

　　　　　　用一个例子来说明：A="CD"，B="CEFDRT"。

　　　　　　很明显的是LCS(2,1)=1，LCS(2,2)=1，LCS(2,3)=1。

　　　　　　满足LCS(2,j)=1这个条件的j有三个，分别是j=1、j=2、j=3。其中j最小值是1。故L(1,2)=1

　　为了推导L的计算，有下面几个定理。

　　定理一：任意的i，1≤i≤M。有L(1,i)＜L(2,i)＜L(3,i)……

　　定理二：任意的i，1≤i≤M-1。任意的k，1≤k≤M。有L(k,i+1)≤L(k,i)

　　定理三：任意的i，1≤i≤M-1。任意的k，1≤k≤M－1。有L(k,i)＜L(k+1,i+1)

　　定理四：如果L(k,i+1)存在，则L(k,i+1)的计算公式为

　　　　　　L(k,i+1)=Min｛Min｛j｝，L(k,i)｝ Where ｛a_i+1=b_j And j>L(k-1,i)｝

　　上面四个定理证明从略。可以从上面四个定理推导出L的计算。

　　故，L的计算公式为

　　　　①L(1,1)=Min｛j｝ Where ｛a₁=b_j｝

　　　　②L(1,i)=Min｛Min｛j｝ Where ｛a_i=b_j｝，L(1,i-1)｝ 　　此时，1<i≤M

　　　　③L(k,i)=Min｛Min｛j｝ Where ｛a_i=b_j  And j＞L(k-1,i-1)｝，L(k,i-1)｝ 　　此时，1<i≤M，1<k≤M

　　　　注：以上公式中，若找不到满足Where后面条件的j，则j=MaxValue

　　　　　　当i＜k时，则L(k,i)=MaxValue

　　　　　　MaxValue是一个常量，表示“不存在”

　　在实际的算法实现中，为了简化运算，再次提出几个定义。

　　定义：　　　　L(0,i)=0　　　　　　　　1≤i≤M

　　　　　　　　　L(k,0)=MaxValue　　　　1<k≤M

　　　　　　　　　MaxValue=N+1　　　　（只要定义一个j不可能取到的值就可以了）

　　　　则，在①中的公式可以写成

　　　　L(1,1)=Min｛j｝ Where ｛a₁=b_j｝=Min｛j｝ Where ｛a₁=b_j And j>0 }

　　　　　　　=Min｛Min｛j｝ Where ｛a₁=b_j And j>0 ｝，MaxValue｝

　　　　　　　=Min｛Min｛j｝ Where ｛a₁=b_j And j>L(0,0) ｝，L(1,0)｝

　　　　在②中的公式可以写成

　　　　L(1,i)=Min｛Min｛j｝ Where ｛a_i=b_j｝，L(1,i-1)｝

　　　　　　　=Min｛Min｛j｝ Where ｛a_i=b_j And j>0｝，L(1,i-1)｝

　　　　　　　=Min｛Min｛j｝ Where ｛a_i=b_j And j>L(0,i)｝，L(1,i-1)｝　　　　此时，1<i≤M

　　于是，三个公式统一了　　

　　④L(k,i)=Min｛Min｛j｝ Where ｛a_i=b_j  And j＞L(k-1,i-1)｝，L(k,i-1)｝ 　　此时，1≤i≤M，1≤k≤M

　　且当i＜k时，则L(k,i)=MaxValue

　　仔细观察④，公式还可以写成如下

　　⑤　　L(k,i)=Min｛j｝ Where ｛a_i=b_j  And L(k-1,i-1)<j<L(k,i-1)｝　1≤i≤M，1≤k≤M，且j存在　 　　

　　或　　L(k,i)=L(k,i-1)　　1≤i≤M，1≤k≤M，当j不存在时

　　写成⑤的目的有两个：一个是简化计算，不计算不必要的值；一个是为了标记，为后面计算最长公共子序列做准备。　　

　　接下来，将会用例子来说明：

　　A：481234781；B：4411327431

　　第一步：初始化L矩阵 

L矩阵

		4	8	1	2	3	4	7	8	1
	i=0	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7	i=8	i=9
k=0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
k=1	V
k=2	V	V
k=3	V	V	V
k=4	V	V	V	V
k=5	V	V	V	V	V
k=6	V	V	V	V	V	V
k=7	V	V	V	V	V	V	V
k=8	V	V	V	V	V	V	V	V
k=9	V	V	V	V	V	V	V	V	V

　　第二步：如表格所示，计算第一条对角线 

L矩阵

		4	8	1	2	3	4	7	8	1
	i=0	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7	i=8	i=9
k=0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
k=1	V	1
k=2	V	V	V
k=3	V	V	V	V
k=4	V	V	V	V	V
k=5	V	V	V	V	V	V
k=6	V	V	V	V	V	V	V
k=7	V	V	V	V	V	V	V	V
k=8	V	V	V	V	V	V	V	V	V
k=9	V	V	V	V	V	V	V	V	V	V

 　　　　运气很差，只有第一个单元格有值，其余的都是V（MaxValue），很显然这不是问题的解。这条对角线满足L(k-1,i-1)<j<L(k,i-1)的只有一个单元格。先把它标记出来。

　　第三步：如表格所示，计算相邻的第二条对角线 

L矩阵

		4	8	1	2	3	4	7	8	1
	i=0	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7	i=8	i=9
k=0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
k=1	V	1	1
k=2	V	V	V	3
k=3	V	V	V	V	6
k=4	V	V	V	V	V	9
k=5	V	V	V	V	V	V	V
k=6	V	V	V	V	V	V	V	V
k=7	V	V	V	V	V	V	V	V	V
k=8	V	V	V	V	V	V	V	V	V	V
k=9	V	V	V	V	V	V	V	V	V	V

　　运气比较好，有四个值。说明LCS(A,B)至少是4。但由于对角线上有V（MaxValue），所以本条对角线还不是解。同时，满足L(k-1,i-1)<j<L(k,i-1)的条件的单元格有3个。把它们标记出来。

　　第四步：如表格所示，计算相邻的第三条对角线 

L矩阵

		4	8	1	2	3	4	7	8	1
	i=0	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7	i=8	i=9
k=0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
k=1	V	1	1	1
k=2	V	V	V	3	3
k=3	V	V	V	V	6	5
k=4	V	V	V	V	V	9	8
k=5	V	V	V	V	V	V	V	V
k=6	V	V	V	V	V	V	V	V	V
k=7	V	V	V	V	V	V	V	V	V	V
k=8	V	V	V	V	V	V	V	V	V	V
k=9	V	V	V	V	V	V	V	V	V	V

　　同理，这条对角线也不是解。把满足L(k-1,i-1)<j<L(k,i-1)的单元格标记出来。一共是两个。

　　第五步：如表格所示，计算相邻的第四条对角线 

L矩阵

		4	8	1	2	3	4	7	8	1
	i=0	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7	i=8	i=9
k=0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
k=1	V	1	1	1	1
k=2	V	V	V	3	3	3
k=3	V	V	V	V	6	5	5
k=4	V	V	V	V	V	9	8	7
k=5	V	V	V	V	V	V	V	V	V
k=6	V	V	V	V	V	V	V	V	V	V
k=7	V	V	V	V	V	V	V	V	V	V
k=8	V	V	V	V	V	V	V	V	V	V
k=9	V	V	V	V	V	V	V	V	V	V

　　很遗憾，这个还不是解。满足L(k-1,i-1)<j<L(k,i-1)的解就只有1个。标记出来。

　　

　　第六步：如表格所示，计算相邻的第五条对角线 

L矩阵

		4	8	1	2	3	4	7	8	1
	i=0	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7	i=8	i=9
k=0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
k=1	V	1	1	1	1	1
k=2	V	V	V	3	3	3	2
k=3	V	V	V	V	6	5	5	5
k=4	V	V	V	V	V	9	8	7	7
k=5	V	V	V	V	V	V	V	V	V	10
k=6	V	V	V	V	V	V	V	V	V	V
k=7	V	V	V	V	V	V	V	V	V	V
k=8	V	V	V	V	V	V	V	V	V	V
k=9	V	V	V	V	V	V	V	V	V	V

　　这条对角线上的值都不是V（MaxValue）。因此，问题的解出来了。注意到这条对角线对应的k=5，因此LCS(A,B)=5。

　　在表格中，满足L(k-1,i-1)<j<L(k,i-1)的单元格一共有9个（包括本条对角线的2个）。最大公共子序列的下标就在这9个单元格中。获取的依据是：每行取一个，每行的单元格都在上一行单元格的右边

　　按照这个依据，最长公共子序列的下标分别是

　　1；3；5；7；10　　　　C=b₁b₃b₅b₇b₁₀=41371

　　此时最佳匹配为：　　A：48123478_1

　　　　　　　　　　　　B：4411327431　　

　　1；3；6；7；10　　　　C=b₁b₃b₆b₇b₁₀=41271

　　此时最佳匹配为：　　A：481__23478_1

　　　　　　　　　　　　B：441132__7431

　　1；3；6；9；10　　　　C=b₁b₃b₆b₉b₁₀=41231

　　此时最佳匹配为：　　A：481__2__34781

　　　　　　　　　　　　B：441132743___1

　　1；3；5；8；10　　　　C=b₁b₃b₅b₈b₁₀=41341

　　此时最佳匹配为：　　A：48123__4781

　　　　　　　　　　　　B：441132743_1

　　1；3；6；8；10　　　　C=b₁b₃b₆b₈b₁₀=41241

　　此时最佳匹配为：　　A：481__234781

　　　　　　　　　　　　B：441132743_1

　　

 　　

　　可以看出，Nakatsu算法很好的找到了所有的最长的公共子序列。但是，要找到所有的最长公共子序列，存储的空间是不会少于O（MN）的。因此，退而求其次，只求一个最长公共子序列。这个在空间的占用上是可以优化到O（M）的。

　　

　　Nakatsu算法的时间分析：Nakatsu算法并没有把整个L矩阵计算出来，只是不停的尝试计算对角线，当遇到满足条件的对角线，就退出计算。假设LCS(A,B)=P。则可以判断出一共计算了M-P+1条对角线。而在每一条对角线的计算中，计算的次数满足下列的条件，假设计算第t条对角线

　　S=(L(1+t-1,1)-L(t-1,0))+(L(2+t-1,2)-L(1+t-1,1))……+(L(M+1-t,M)-L(M-t,M-1))

　　　=L(M+1-t,M)-L(t-1,0)

　　　=L(M+1-t,M)≤V=N+1

　　故Nakatsu算法的时间占用为O（（N+1）（M-P+1））。当P越是接近M，Nakatsu算法的速度越快。

　　

　　没有优化过的Nakatsu算法占用空间O（MN）。因此，接下来的步骤就是对算法进行优化。前面提到，如果要计算出所有的最长公共子序列，空间是不可能压缩到线性空间的。因此，退而求其次，只求出一个最长公共子序列。通过观察，发现每一行第一个不是MaxValue的值组成的下标就是一个最长公共子序列。在本篇文章中就是1、3、6、9、10，对应的最长公共子序列是b₁b₃b₆b₉b₁₀=41231。

　　接下来就是优化过程。注意到计算的过程是沿着对角线进行的。且每一个值的计算只和本条对角线和上一条对角线相关。因此，优化的思路就是把对角线转化为一维数组，也就是线性空间

　　第一步：初始化数组LL()和P()；

　　　　　　LL(0)=0

　　　　　　LL(i)=V　　　　1≤i≤M

　　　　　　P(i)=V　　　　1≤i≤M　

　　　　　　此时，LL(0)表示L(0,0)；LL(1)表示L(1,0)；LL(2)表示L(2,1)；……

　　第二步：依次计算第一条对角线上的元素

　　　　　　用临时变量T计算L(1,1)；T=F(L(0,0),L(1,0))=F(LL(0),LL(1))。注：F表示某种运算关系

　　　　　　将T的值赋给LL(1)。此时LL(1)表示LL(1,1)，LL(2)表示L(2,1)；

　　　　　　

　　　　　　重复上面的计算，直到计算完本条对角线

　　　　　　如果是第k行的第一个不为V的值，将该值赋给P(k)

　　第三步：第一条对角线计算完之后，此时，LL(0)表示L(0,1)；LL(1)表示L(1,1)；LL(2)表示L(2,2)；……

　　　　　　如果，这条对角线不是解，重复第二步，计算下一条对角线。直到遇到解为止。

　　　　　　不过要注意的是。第i条对角线只有m-i+1个元素。所以只计算到LL(m-i+1)。

　　　　　　某条对角线，某个元素是V的话，则这条对角线之后的元素都是V，就不需要计算了。

　　贴上VB2008的代码。 用这个代码计算上面的示例时，得到的最长公共子序列是41231。在优化到线性空间的情况下，只能得出一个最长公共子序列。这也是Nakatsu算法的本质——计算最长公共子序列。至于要得到最佳匹配，还得继续研究。

　　代码如下：

　　Public Class clsNakatsu
　　　　Private _A() As Char, _B() As Char

　　　　Public Sub New(ByVal A As String, ByVal B As String)
　　　　　　_A = A.ToCharArray
　　　　　　_B = B.ToCharArray
　　　　End Sub

　　　　Public Function GetLCS() As String
　　　　　　Dim L(_A.Length) As Integer, P(_A.Length) As Integer
　　　　　　Dim i As Integer, j As Integer, T As Integer

　　　　　　L(0) = -1
　　　　　　For i = 1 To _A.Length
　　　　　　　　L(i) = Integer.MaxValue
　　　　　　　　P(i) = Integer.MaxValue
　　　　　　Next

　　　　　　For i = 0 To _A.Length - 1
　　　　　　　　For j = 1 To _A.Length - i
　　　　　　　　　　T = GetP(i + j - 1, L(j - 1), L(j))
　　　　　　　　　　If T <> Integer.MaxValue Then L(j) = T

　　　　　　　　　　If P(j) = Integer.MaxValue AndAlso L(j) <> Integer.MaxValue Then P(j) = L(j)

　　　　　　　　　　If L(j) = Integer.MaxValue Then Exit For
　　　　　　　　Next

　　　　　　　　If L(_A.Length - i) <> Integer.MaxValue Then
　　　　　　　　　　Dim tS As New System.Text.StringBuilder

　　　　　　　　　　For j = 1 To _A.Length - i
　　　　　　　　　　　　tS.Append(_B(P(j)))
　　　　　　　　　　Next

　　　　　　　　　　Return tS.ToString
　　　　　　　　End If

　　　　　　Next

　　　　　　Return ""
　　　　End Function

　　　　Private Function GetP(ByVal Index As Integer, ByVal StartP As Integer, ByVal EndP As Integer)
　　　　　　Dim i As Integer
　　　　　　If EndP = Integer.MaxValue Then EndP = _B.Length
　　　　　　For i = StartP + 1 To EndP - 1
　　　　　　　　If _A(Index) = _B(i) Then Return i
　　　　　　Next
　　　　　　Return Integer.MaxValue
　　　　End Function
　　End Class