树状数组，Fenwick Tree

Fenwick Tree, (also known as Binary Indexed Tree，二叉索引树), is a high-performance data structure to calculate the sum of elements from the beginning to the indexed in a array.

 

It needs three functions and an array:

• Array sum; It stores the data of Fenwick Tree.
  
• int lowbit(int); To get the last 1 of the binary number. 取出最低位 1
  
• void modify(int, int); To modify the value of an element, the second input "val" is the value that would be added.
• int query(int); To get the sum of elements from the beginning to the indexed.

 

How to get the last 1 of a binary number? Use AND operating:  x & (-x).

 

Definitions:

int sum[N];

inline int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}
inline void modify(int x, int val) {
    while (x <= n) {
        d[x] += val; x += lowbit(x);
    }
}
inline int query(int x) {
    int sum = 0;
    while (x > 0) {
        sum += d[x]; x -= lowbit(x);
    }
    return sum;
}

 

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例题1：洛谷P3374 【模板】树状数组 1

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1.将某一个数加上x

2.求出某区间每一个数的和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含3或4个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x k 含义：将第x个数加上k

操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和

输出格式：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

代码：

/* P3374 【模板】树状数组 1
 * Au: GG
 */
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 500000 + 3;
int n, m, d[N];

inline int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}
inline void modify(int x, int val) {
    while (x <= n) {
        d[x] += val; x += lowbit(x);
    }
}
inline int getsum(int x) {
    int sum = 0;
    while (x > 0) {
        sum += d[x]; x -= lowbit(x);
    }
    return sum;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1, w; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &w); modify(i, w);
    }
    while (m--) {
        int o, x, y;
        scanf("%d%d%d", &o, &x, &y);
        if (o == 1) modify(x, y);
        if (o == 2) printf("%d
", getsum(y) - getsum(x - 1));
    }
    return 0;
}

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例题2：洛谷P3368 【模板】树状数组 2

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1.将某区间每一个数数加上x

2.求出某一个数的和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含2或4个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k

操作2： 格式：2 x 含义：输出第x个数的值

输出格式：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

数据直接 modify 到差分数组里，方便区间修改和单元素查询（原本树状数组作用是方便单元素修改和区间查询 ）。

代码：

/* P3368 【模板】树状数组 2
 * Au: GG
 */
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 500000 + 3;
int n, m, d[N];

inline int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}
inline void modify(int x, int val) {
    while (x <= n) {
        d[x] += val; x += lowbit(x);
    }
}
inline int getsum(int x) {
    int sum = 0;
    while (x > 0) {
        sum += d[x]; x -= lowbit(x);
    }
    return sum;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1, w, v = 0; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &w); modify(i, w - v); v = w;
    }
    while (m--) {
        int o, x, y, k;
        scanf("%d%d", &o, &x);
        if (o == 1) {
            scanf("%d%d", &y, &k);
            modify(x, k); modify(y + 1, -k);
        }
        if (o == 2) printf("%d
", getsum(x));
    }
    return 0;
}