系列索引:
分块
树状数组 Binary Indexed Tree
时间复杂度 每次操作 (O(log n)),空间复杂度 (O(n))。
Pure
下标从 1 开始。
ll t[N];
inline int lowbit(int x) {return x&-x; }
inline void update(int x, ll val) {
for (; x<=n; x+=lowbit(x)) t[x]+=val;
}
inline ll sum(int x) {
ll res=0;
for (; x; x-=lowbit(x)) res+=t[x];
return res;
}
2 Dimensions
void update(int x, int y, int z) {
int i = x;
while (i <= n) {
int j = y;
while (j <= m) {
t[i][j] += z;
j += lowbit(j);
}
i += lowbit(i);
}
}
int sum(int x, int y) { // prefix
int res = 0, i = x;
while (i > 0) {
int j = y;
while (j > 0) {
res += t[i][j];
j -= lowbit(j);
}
i -= lowbit(i);
}
return res;
}
线段树 Segment Tree
时间复杂度 每次操作 (O(log n)),空间复杂度 (O(4n))。
Standard
单点修改,区间求和:
#define lson k<<1, l, mid
#define rson k<<1|1, mid+1, r
int t[N<<2];
void modify(int k, int l, int r, int x) {
if (l==r&&l==x) {++t[k]; return; }
register int mid=l+r>>1;
if (x<=mid) modify(lson, x);
if (mid<x) modify(rson, x);
++t[k];
}
int query(int k, int l, int r, int x, int y) {
if (x<=l&&r<=y) return t[k];
register int mid=l+r>>1, res=0;
if (x<=mid) res+=query(lson, x, y);
if (mid<y) res+=query(rson, x, y);
return res;
}
区间修改,区间求和:
ll t[N<<2], laz[N<<2];
inline void add(int k, int l, int r, ll val) {
laz[k]+=val;
t[k]+=(r-l+1)*val;
}
inline void pd(int k, int l, int r, int mid) {
if (!laz[k]) return;
add(lson, laz[k]), add(rson, laz[k]);
laz[k]=0;
}
void modify(int k, int l, int r, int x, int y, ll val) {
if (x<=l&&r<=y) {add(k, l, r, val); return; }
int mid=l+r>>1;
pd(k, l, r, mid);
if (x<=mid) modify(lson, x, y, val);
if (mid<y) modify(rson, x, y, val);
t[k]=t[k<<1]+t[k<<1|1];
}
ll query(int k, int l, int r, int x, int y) {
if (x<=l&&r<=y) return t[k];
int mid=l+r>>1; ll res=0;
pd(k, l, r, mid);
if (x<=mid) res+=query(lson, x, y);
if (mid<y) res+=query(rson, x, y);
return res;
}
有运算优先级:如同时支持区间乘和区间加,将标记设计为先乘 a 再加 b,那么区间加时直接加 b 即可,而区间乘时需要将 a 和 b 都乘上一个数。
int lazy[N<<2], sum[N<<2], lazy2[N<<2];
void build(int k, int l, int r) {
lazy2[k] = 1;
if (l==r) { sum[k] = data[l]; return; }
int mid = l+r >> 1;
build(k<<1, l, mid);
build((k<<1)+1, mid+1, r);
sum[k] = ((ll)sum[k<<1] + sum[(k<<1)+1]) % MOD;
}
void add(int k, int l, int r, int v) {
lazy[k] = ((ll)lazy[k] + v) % MOD;
sum[k] = (sum[k] + (ll)(r-l+1) * v) % MOD;
}
void mul(int k, int l, int r, int v) {
lazy[k] = ((ll)lazy[k] * v) % MOD;
lazy2[k] = ((ll)lazy2[k] * v) % MOD;
sum[k] = ((ll)sum[k] * v) % MOD;
}
void pushdown(int k, int l, int r, int mid) {
if (lazy2[k]!=1) {
mul(k<<1, l, mid, lazy2[k]);
mul((k<<1)+1, mid+1, r, lazy2[k]);
lazy2[k] = 1;
}
if (lazy[k]) {
add(k<<1, l, mid, lazy[k]);
add((k<<1)+1, mid+1, r, lazy[k]);
lazy[k] = 0;
}
}
void modify(int k, int l, int r, int x, int y, int v) {
if (l>=x && r<=y) {add(k, l, r, v); return;}
int mid = l+r >> 1;
pushdown(k, l, r, mid);
if (x<=mid) modify(k<<1, l, mid, x, y, v);
if (y>mid) modify((k<<1)+1, mid+1, r, x, y, v);
sum[k] = ((ll)sum[k<<1] + sum[(k<<1)+1]) % MOD;
}
void modify2(int k, int l, int r, int x, int y, int v) {
if (l>=x && r<=y) {mul(k, l, r, v); return;}
int mid = l+r >> 1;
pushdown(k, l, r, mid);
if (x<=mid) modify2(k<<1, l, mid, x, y, v);
if (y>mid) modify2((k<<1)+1, mid+1, r, x, y, v);
sum[k] = ((ll)sum[k<<1] + sum[(k<<1)+1]) % MOD;
}
int query(int k, int l, int r, int x, int y) {
if (l>=x && r<=y) return sum[k];
int mid = l+r >> 1, res = 0;
pushdown(k, l, r, mid);
if (x<=mid) res = ((ll)res + query(k<<1, l, mid, x, y)) % MOD;
if (y>mid) res = ((ll)res + query((k<<1)+1, mid+1, r, x, y)) % MOD;
return res;
}
标记永久化
对于树套树,主席树等使用到线段树的比较复杂的数据结构,打标记后 pushdown、pushup 是很费劲的。
思路:不下传标记;在路过该节点的时候把修改对答案的影响加上,来省去标记下放的过程。
zkw Segment Tree
int zkw; ll t[N<<2], laz[N<<2];
inline void update(int x, int y, ll val) {
ll l=0, r=0, f=1;
for (x+=zkw-1, y+=zkw+1; x^y^1; x>>=1, y>>=1, f<<=1) {
t[x]+=val*l, t[y]+=val*r;
if (~x&1) laz[x^1]+=val, t[x^1]+=val*f, l+=f;
if (y&1) laz[y^1]+=val, t[y^1]+=val*f, r+=f;
}
for (; x; x>>=1, y>>=1) t[x]+=val*l, t[y]+=val*r;
}
inline ll query(int x, int y) {
ll res=0, l=0, r=0, f=1;
for (x+=zkw-1, y+=zkw+1; x^y^1; x>>=1, y>>=1, f<<=1) {
if (laz[x]) res+=laz[x]*l;
if (laz[y]) res+=laz[y]*r;
if (~x&1) res+=t[x^1], l+=f;
if (y&1) res+=t[y^1], r+=f;
}
for (; x; x>>=1, y>>=1) res+=laz[x]*l, res+=laz[y]*r;
return res;
}
for (zkw=1; zkw<=n+1; zkw<<=1);
for (int i=zkw+1; i<=zkw+n; i++) scanf("%lld", t+i);
for (int i=zkw-1; i>0; --i) t[i]=t[i<<1]+t[i<<1|1];