一、高等数学
1.导数定义:
导数和微分的概念
(1)
或者:
(2)
2.左右导数导数的几何意义和物理意义
函数 在
处的左、右导数分别定义为:
左导数:
右导数:
3.函数的可导性与连续性之间的关系
Th1: 函数 在
处可微
在
处可导
Th2: 若函数在点 处可导,则
在点
处连续,反之则不成立。即函数连续不一定可导。
Th3: 存在
4.平面曲线的切线和法线
切线方程 : 法线方程:
5.四则运算法则
设函数 在点
可导则
(1)
(2)
(3)
6.基本导数与微分表
(1) (常数)
,
(2) (
为实数)
,
(3)
,
特例: ,
(4)
特例: ,
,
(5)
,
,
(6)
,
(7)
,
(8)
,
(9)
,
(10)
,
(11)
,
(12)
,
(13)
,
(14)
,
(15)
,
(16)
,
7.复合函数,反函数,隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
(1) 反函数的运算法则: 设 在点
的某邻域内单调连续,在点
处可导且
,则其反函数在点
所对应的
处可导,并且有
(2) 复合函数的运算法则:若 在点
可导,而
在对应点
(
)可导,则复合函数
在点
可导,且
(3) 隐函数导数 的求法一般有三种方法:
1)方程两边对 求导,要记住
是
的函数,则
的函数是
的复合函数。
例如 ,
,
,
等均是
的复合函数。
对 求导应按复合函数连锁法则做。
2)公式法:由 知
,其中,
,
分别表示
对
和
的偏导数
3)利用微分形式不变性
8.常用高阶导数公式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)莱布尼兹公式:若 均
阶可导,则
,其中
,
9.微分中值定理,,泰勒公式
Th1:(费马定理)
若函数 满足条件:
(1)函数 在
的某邻域内有定义,并且在此邻域内恒有:
或
,
(2) 在
处可导,则有
Th2:(罗尔定理)
设函数 满足条件:
(1)在闭区间 上连续;
(2)在 内可导;
(3)
则在 内存在一个
,使
Th3: (拉格朗日中值定理)
设函数 满足条件:
(1)在 上连续;
(2)在 内可导;
则在 内存在一个
,使
Th4: (柯西中值定理)
设函数 ,
满足条件:
(1) 在 上连续;
(2) 在 内可导且
,
均存在,且
则在 内存在一个
,使
10.洛必达法则
法则Ⅰ ( 型)
设函数 满足条件:
;
在
的邻域内可导,(在
处可除外)且
;
存在(或
)。
则: 。
法则 (
型)
设函数 满足条件:
;
存在一个 ,当
时,
可导,且
;
存在(或
)。
则:
法则Ⅱ( 型)
设函数 满足条件:
;
在
的邻域内可导(在
处可除外)且
;
存在(或
)。
则: 。同理法则
(
型)仿法则
可写出。
11.泰勒公式
设函数 在点
处的某邻域内具有
阶导数,则对该邻域内异于
的任意点
,在
与
之间至少存在一个
,使得:
其中 称为
在点
处的
阶泰勒余项。
令 ,则
阶泰勒公式:
……(1)
其中 ,
在0与
之间,(1)式称为麦克劳林公式。
常用五种函数在 处的泰勒公式
(1)
或
(2)
或
(3)
或
(4)
或
(5)
或
12.函数单调性的判断
Th1: 设函数 在
区间内可导,如果对
,都有
(或
),
则函数 在
内是单调增加的(或单调减少)。
Th2: (取极值的必要条件)设函数 在
处可导,且在
处取极值,
则 。
Th3: (取极值的第一充分条件)设函数 在
的某一邻域内可微,且
(或
在
处连续,但
不存在。)
(1) 若当 经过
时,
由“+”变“-”,则
为极大值;
(2) 若当 经过
时,
由“-”变“+”,则
为极小值;
(3) 若 经过
的两侧不变号,则
不是极值。
Th4: (取极值的第二充分条件)设 在
处有
,且
,则:
当 时,
为极大值;
当 时,
为极小值。
注:如果 ,此方法失效。
13.渐近线的求法
(1)水平渐近线
若 ,或
,则
称为函数
的水平渐近线。
(2)铅直渐近线
若 ,或
,则
称为
的铅直渐近线。
(3)斜渐近线
若 ,则
称为
的斜渐近线。
14.函数凹凸性的判断
Th1: (凹凸性的判别定理)若在I上 (或
),则
在I上是凸的(或凹的)。
Th2: (拐点的判别定理1)若在 处
,(或
不存在),当
变动经过
时,
变号,则
为拐点。
Th3: (拐点的判别定理2)设 在
点的某邻域内有三阶导数,且
,
,则
为拐点。
15.弧微分
16.曲率
曲线 在点
处的曲率
。
对于参数方程
。
17.曲率半径
曲线在点 处的曲率
与曲线在点
处的曲率半径
有如下关系:
。
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