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机器学习的数学基础-（一、高等数学）（转）

一、高等数学

1.导数定义：

导数和微分的概念

$f'({{x}_{0}})=underset{Delta x o 0}{mathop{lim }}\,frac{f({{x}_{0}}+Delta x)-f({{x}_{0}})}{Delta x}$ （1）

或者：

$f'({{x}_{0}})=underset{Delta x o 0}{mathop{lim }}\,frac{f({{x}_{0}}+Delta x)-f({{x}_{0}})}{Delta x}$ （2）

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左、右导数分别定义为：

左导数： ${{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})=underset{Delta x o {{0}^{-}}}{mathop{lim }}\,frac{f({{x}_{0}}+Delta x)-f({{x}_{0}})}{Delta x}=underset{x o x_{0}^{-}}{mathop{lim }}\,frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}},(x={{x}_{0}}+Delta x)$

右导数： ${{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})=underset{Delta x o {{0}^{+}}}{mathop{lim }}\,frac{f({{x}_{0}}+Delta x)-f({{x}_{0}})}{Delta x}=underset{x o x_{0}^{+}}{mathop{lim }}\,frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微 $Leftrightarrow f(x)$ 在 $x_0$ 处可导

Th2: 若函数在点 $x_0$ 处可导，则 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3: ${f}'({{x}_{0}})$ 存在 $Leftrightarrow {{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})={{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})$

4.平面曲线的切线和法线

切线方程 : $y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$ 法线方程： $y-{{y}_{0}}=-frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}}) e 0$

5.四则运算法则
设函数 $u=u(x)，v=v(x)$ 在点 $x$ 可导则
(1) $(upm v{)}'={u}'pm {v}'$ $d(upm v)=dupm dv$
(2) $(uv{)}'=u{v}'+v{u}'$ $d(uv)=udv+vdu$
(3) $(frac{u}{v}{)}'=frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v e 0)$ $d(frac{u}{v})=frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}$

6.基本导数与微分表
(1) $y=c$ （常数）

${y}'=0$ ， $dy=0$
(2) $y={{x}^{alpha }}$ ( $alpha$ 为实数)

${y}'=alpha {{x}^{alpha -1}}$ ， $dy=alpha {{x}^{alpha -1}}dx$
(3) $y={{a}^{x}}$

${y}'={{a}^{x}}ln a$ ， $dy={{a}^{x}}ln adx$
特例: $({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}}$ ， $d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx$

(4) ${y}'=frac{1}{xln a}$

$dy=frac{1}{xln a}dx$
特例: $y=ln x$ ， $(ln x{)}'=frac{1}{x}$ ， $d(ln x)=frac{1}{x}dx$

(5) $y=sin x$

${y}'=cos x$ ， $d(sin x)=cos xdx$ ， $y=cos x$

(6) $y=cos x$

${y}'=-sin x$ ， $d(cos x)=-sin xdx$

(7) $y= an x$

${y}'=frac{1}{{{cos }^{2}}x}={{sec }^{2}}x$ ， $d( an x)={{sec }^{2}}xdx$
(8) $y=cot x$

${y}'=-frac{1}{{{sin }^{2}}x}=-{{csc }^{2}}x$ ， $d(cot x)=-{{csc }^{2}}xdx$
(9) $y=sec x$

${y}'=sec x an x$ ， $d(sec x)=sec x an xdx$
(10) $y=csc x$

${y}'=-csc xcot x$ ， $d(csc x)=-csc xcot xdx$
(11) $y=arcsin x$

${y}'=frac{1}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}$ ， $d(arcsin x)=frac{1}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$
(12) $y=arccos x$

${y}'=-frac{1}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}$ ， $d(arccos x)=-frac{1}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$

(13) $y=arctan x$

${y}'=frac{1}{1+{{x}^{2}}}$ ， $d(arctan x)=frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$

(14) $y=operatorname{arc}cot x$

${y}'=-frac{1}{1+{{x}^{2}}}$ ， $d(operatorname{arc}cot x)=-frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$
(15) $y=shx$

${y}'=chx$ ， $d(shx)=chxdx$

(16) $y=chx$

${y}'=shx$ ， $d(chx)=shxdx$

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设 $y=f(x)$ 在点 $x$ 的某邻域内单调连续，在点 $x$ 处可导且 ${f}'(x) e 0$ ，则其反函数在点 $x$ 所对应的 $y$ 处可导，并且有 $frac{dy}{dx}=frac{1}{frac{dx}{dy}}$
(2) 复合函数的运算法则:若 $mu =varphi (x)$ 在点 $x$ 可导,而 $y=f(mu )$ 在对应点 $mu$ ( $mu =varphi (x)$ )可导,则复合函数 $y=f(varphi (x))$ 在点 $x$ 可导,且 ${y}'={f}'(mu )cdot {varphi }'(x)$
(3) 隐函数导数 $frac{dy}{dx}$ 的求法一般有三种方法：
1)方程两边对 $x$ 求导，要记住 $y$ 是 $x$ 的函数，则 $y$ 的函数是 $x$ 的复合函数。

例如 $frac{1}{y}$ ， ${{y}^{2}}$ ， $ln y$ ， ${{{e}}^{y}}$ 等均是 $x$ 的复合函数。
对 $x$ 求导应按复合函数连锁法则做。
2)公式法：由 $F(x,y)=0$ 知 $frac{dy}{dx}=-frac{{{{{F}'}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}_{y}}(x,y)}$ ,其中， ${{{F}'}_{x}}(x,y)$ ， ${{{F}'}_{y}}(x,y)$ 分别表示 $F(x,y)$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数
3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

（1） $({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{ln }^{n}}aquad (a>{0})quad quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}$
（2） $(sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}sin (kx+ncdot frac{pi }{{2}})$
（3） $(cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}cos (kx+ncdot frac{pi }{{2}})$
（4） $({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}$
（5） $(ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}$
（6）莱布尼兹公式：若 $u(x)\,,v(x)$ 均 $n$ 阶可导，则
${{(uv)}^{(n)}}=sumlimits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}$ ，其中 ${{u}^{({0})}}=u$ ， ${{v}^{({0})}}=v$

9.微分中值定理，，泰勒公式

Th1:(费马定理)

若函数 $f(x)$ 满足条件：
(1)函数 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有：

$f(x)le f({{x}_{0}})$ 或 $f(x)ge f({{x}_{0}})$ ,

(2) $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 处可导,则有 ${f}'({{x}_{0}})=0$

Th2:(罗尔定理)

设函数 $f(x)$ 满足条件：
(1)在闭区间 $[a,b]$ 上连续；

(2)在 $(a,b)$ 内可导；

(3) $f(a)=f(b)$

则在 $(a,b)$ 内存在一个 $xi$ ，使 ${f}'(xi )=0$

Th3: (拉格朗日中值定理)

设函数 $f(x)$ 满足条件：
(1)在 $[a,b]$ 上连续；

(2)在 $(a,b)$ 内可导；

则在 $(a,b)$ 内存在一个 $xi$ ，使 $frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(xi )$

Th4: (柯西中值定理)

设函数 $f(x)$ ， $g(x)$ 满足条件：
(1) 在 $[a,b]$ 上连续；

(2) 在 $(a,b)$ 内可导且 ${f}'(x)$ ， ${g}'(x)$ 均存在，且 ${g}'(x) e 0$

则在 $(a,b)$ 内存在一个 $xi$ ，使 $frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=frac{{f}'(xi )}{{g}'(xi )}$

10.洛必达法则
法则Ⅰ ( $frac{0}{0}$ 型)
设函数 $fleft( x ight),gleft( x ight)$ 满足条件：
$underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,fleft( x ight)=0,underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,gleft( x ight)=0$ ;

$fleft( x ight),gleft( x ight)$ 在 ${{x}_{0}}$ 的邻域内可导，(在 ${{x}_{0}}$ 处可除外)且 ${g}'left( x ight) e 0$ ;

$underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)}$ 存在(或 $infty$ )。

则:
$underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{fleft( x ight)}{gleft( x ight)}=underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)}$ 。
法则 ${{ ext I}'}$ ( $frac{0}{0}$ 型)

设函数 $fleft( x ight),gleft( x ight)$ 满足条件：
$underset{x o infty }{mathop{lim }}\,fleft( x ight)=0,underset{x o infty }{mathop{lim }}\,gleft( x ight)=0$ ;

存在一个 $X>0$ ,当 $left| x ight|>X$ 时, $fleft( x ight),gleft( x ight)$ 可导,且 ${g}'left( x ight) e 0$ ;

$underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)}$ 存在(或 $infty$ )。

则:
$underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{fleft( x ight)}{gleft( x ight)}=underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)}$
法则Ⅱ( $frac{infty }{infty }$ 型)

设函数 $fleft( x ight),gleft( x ight)$ 满足条件：
$underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,fleft( x ight)=infty ,underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,gleft( x ight)=infty$ ; $fleft( x ight),gleft( x ight)$ 在 ${{x}_{0}}$ 的邻域内可导(在 ${{x}_{0}}$ 处可除外)且 ${g}'left( x ight) e 0$ ; $underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)}$ 存在(或 $infty$ )。

则： $underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{fleft( x ight)}{gleft( x ight)}=underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }}\,frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)}$ 。同理法则 ${ ext I{ ext I}'}$ ( $frac{infty }{infty }$ 型)仿法则 ${{ ext I}'}$ 可写出。

11.泰勒公式

设函数 $f(x)$ 在点 ${{x}_{0}}$ 处的某邻域内具有 $n+1$ 阶导数，则对该邻域内异于 ${{x}_{0}}$ 的任意点 $x$ ，在 ${{x}_{0}}$ 与 $x$ 之间至少存在一个 $xi$ ，使得： $f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+frac{1}{2!}{f}''({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+cdots$ $+frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$

其中 ${{R}_{n}}(x)=frac{{{f}^{(n+1)}}(xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}}$ 称为 $f(x)$ 在点 ${{x}_{0}}$ 处的 $n$ 阶泰勒余项。

令 ${{x}_{0}}=0$ ，则 $n$ 阶泰勒公式： $f(x)=f(0)+{f}'(0)x+frac{1}{2!}{f}''(0){{x}^{2}}+cdots +frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$ ……(1)
其中 ${{R}_{n}}(x)=frac{{{f}^{(n+1)}}(xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}$ ， $xi$ 在0与 $x$ 之间，(1)式称为麦克劳林公式。

常用五种函数在 ${{x}_{0}}=0$ 处的泰勒公式

(1) ${{{e}}^{x}}=1+x+frac{1}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{1}{n!}{{x}^{n}}+frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{xi }}$

或 $=1+x+frac{1}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

(2) $sin x=x-frac{1}{3!}{{x}^{3}}+cdots +frac{{{x}^{n}}}{n!}sin frac{npi }{2}+frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}sin (xi +frac{n+1}{2}pi )$

或 $=x-frac{1}{3!}{{x}^{3}}+cdots +frac{{{x}^{n}}}{n!}sin frac{npi }{2}+o({{x}^{n}})$

(3) $cos x=1-frac{1}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{{{x}^{n}}}{n!}cos frac{npi }{2}+frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}cos (xi +frac{n+1}{2}pi )$

或 $=1-frac{1}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{{{x}^{n}}}{n!}cos frac{npi }{2}+o({{x}^{n}})$

(4) $ln (1+x)=x-frac{1}{2}{{x}^{2}}+frac{1}{3}{{x}^{3}}-cdots +{{(-1)}^{n-1}}frac{{{x}^{n}}}{n}+frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+xi )}^{n+1}}}$

或 $=x-frac{1}{2}{{x}^{2}}+frac{1}{3}{{x}^{3}}-cdots +{{(-1)}^{n-1}}frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})$ $aa$

(5) $a$ ${{(1+x)}^{m}}=1+mx+frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{m(m-1)cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}$ $+frac{m(m-1)cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+xi )}^{m-n-1}}$

或 ${{(1+x)}^{m}}=1+mx+frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{m(m-1)cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

12.函数单调性的判断

Th1: 设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 区间内可导，如果对 $forall xin (a,b)$ ，都有 $f\,'(x)>0$ （或 $f\,'(x)<0$ ），

则函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内是单调增加的（或单调减少）。

Th2: （取极值的必要条件）设函数 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 处可导，且在 ${{x}_{0}}$ 处取极值，

则 $f\,'({{x}_{0}})=0$ 。

Th3: （取极值的第一充分条件）设函数 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 的某一邻域内可微，且 $f\,'({{x}_{0}})=0$ （或 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 处连续，但 $f\,'({{x}_{0}})$ 不存在。）
(1) 若当 $x$ 经过 ${{x}_{0}}$ 时， $f\,'(x)$ 由“+”变“-”，则 $f({{x}_{0}})$ 为极大值；
(2) 若当 $x$ 经过 ${{x}_{0}}$ 时， $f\,'(x)$ 由“-”变“+”，则 $f({{x}_{0}})$ 为极小值；
(3) 若 $f\,'(x)$ 经过 $x={{x}_{0}}$ 的两侧不变号，则 $f({{x}_{0}})$ 不是极值。

Th4: (取极值的第二充分条件)设 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 处有 $f''(x) e 0$ ，且 $f\,'({{x}_{0}})=0$ ，则:

当 $f'\,'({{x}_{0}})<0$ 时， $f({{x}_{0}})$ 为极大值；
当 $f'\,'({{x}_{0}})>0$ 时， $f({{x}_{0}})$ 为极小值。
注：如果 $f'\,'({{x}_{0}})<0$ ，此方法失效。

13.渐近线的求法
(1)水平渐近线

若 $underset{x o +infty }{mathop{lim }}\,f(x)=b$ ，或 $underset{x o -infty }{mathop{lim }}\,f(x)=b$ ，则

$y=b$ 称为函数 $y=f(x)$ 的水平渐近线。

(2)铅直渐近线

若 $underset{x o x_{0}^{-}}{mathop{lim }}\,f(x)=infty$ ，或 $underset{x o x_{0}^{+}}{mathop{lim }}\,f(x)=infty$ ，则

$x={{x}_{0}}$ 称为 $y=f(x)$ 的铅直渐近线。

(3)斜渐近线

若 $a=underset{x o infty }{mathop{lim }}\,frac{f(x)}{x},quad b=underset{x o infty }{mathop{lim }}\,[f(x)-ax]$ ，则
$y=ax+b$ 称为 $y=f(x)$ 的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断

Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上 $f''(x)<0$ （或 $f''(x)>0$ ），则 $f(x)$ 在I上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐点的判别定理1)若在 ${{x}_{0}}$ 处 $f''(x)=0$ ，（或 $f''(x)$ 不存在），当 $x$ 变动经过 ${{x}_{0}}$ 时， $f''(x)$ 变号，则 $({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$ 为拐点。

Th3: (拐点的判别定理2)设 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 点的某邻域内有三阶导数，且 $f''(x)=0$ ， $f'''(x) e 0$ ，则 $({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$ 为拐点。

15.弧微分

$dS=sqrt{1+y{{'}^{2}}}dx$

16.曲率

曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x,y)$ 处的曲率 $k=frac{left| y'' ight|}{{{(1+y{{'}^{2}})}^{ frac{3}{2}}}}$ 。
对于参数方程 $left{ egin{align} & x=varphi (t) \ & y=psi (t) \ end{align} ight.,$ $k=frac{left| varphi '(t)psi ''(t)-varphi ''(t)psi '(t) ight|}{{{[varphi {{'}^{2}}(t)+psi {{'}^{2}}(t)]}^{ frac{3}{2}}}}$ 。

17.曲率半径

曲线在点 $M$ 处的曲率 $k(k e 0)$ 与曲线在点 $M$ 处的曲率半径 $ho$ 有如下关系： $ho =frac{1}{k}$ 。

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