我们考虑令：
[F_n = sum_{d|n}varphi(d)
]
那么，有：
[sum_{i=1}^{n}F_i = sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}varphi(d) = sum_{d=1}^{n}varphi(d) imes lfloorfrac{n}{d}
floor = sum_{d=1}^{n}sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d}
floor}varphi(i)
]
为什么最后一步可以这么转化呢？我们考虑一个 (i) ，论 (varphi(i)) 对答案的贡献：
在最后一个等式的左边，(varphi(i)) 对答案的贡献为：(lfloorfrac{n}{i} floor)，这很显然。
在等式的右边，当 (i imes d le n) 的时候，(varphi(i))才会对答案产生贡献，所以对于每一个 (dlelfloorfrac{n}{i} floor)，(varphi(i))都会对答案产生贡献，所以在等式右边，(varphi(i)) 对答案的贡献也为：(lfloorfrac{n}{i} floor)。
于是等式是成立的。
那么就有：
[sum_{i=1}^{n}varphi(i) = sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}varphi(d) - sum_{d=2}^{n}sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d}
floor}varphi(i)
]
还有：
[sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}varphi(d) = sum_{i=1}^{n}i = frac{n imes(n+1)}{2}
]
所以：
[sum_{i=1}^{n}varphi(i) = frac{n imes(n+1)}{2} - sum_{d=2}^{n}sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d}
floor}varphi(i)
]
所以算(sum_{i=1}^{n}varphi(i))的时候就可以记忆化搜索啦。
据说，我们把 (N^{frac{2}{3}}) 之内的答案先筛出来，然后再进行记忆化搜索，复杂度就是 (O(N^{frac{2}{3}}))的了。
然后同理，有：
[sum_{i=1}^{n}mu(i) = 1 - sum_{d=2}^{n}sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d}
floor}mu(i)
]
时空复杂度均为 (O(N^{frac{2}{3}})) 。
毕竟 Gromah 这么弱，不可能自己推出来这些东西。
所以 Gromah 是参考了其他地方的博客的，比如：