欧几里德和扩展欧几里德算法

先贴上资料：

1、http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

2、http://blog.csdn.net/cqlf__/article/details/7953039

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HDOJ 1108 最小公倍数

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1108

最小公倍数=两数相乘/最大公约数

用辗转相除法求最大公约数

#include<cstdio>
#define max(a, b) a > b ? a : b
#define min(a, b) a <= b ? a : b
int gcd(int a, int b)
{
  int big = max(a, b);
  int small = min(a, b);
  int temp;
  while(small != 0)//把小赋给大，把余数赋给小
  {
    temp = big % small;
    big = small;
    small = temp;
  } 
  return big;
}

int main()
{
  int a, b, ans;
  while(scanf("%d%d", &a, &b) != EOF)
  {
    ans = a * b / gcd(a, b);
    printf("%d
", ans);
  }
  return 0;
}

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COJ 1124 最终时刻

http://122.207.68.93/OnlineJudge/problem.php?id=1124

求n个数的最小公倍数 long long即可

#include<stdio.h>
#define max(a,b) a>b?a:b
#define min(a,b) a>b?b:a
long long gcd(long long x,long long y)
{
  long long da=max(x,y);
  long long xiao=min(x,y);
  long long rmd;
  while(xiao!=0)
  {
    rmd=da%xiao;
    da=xiao;
    xiao=rmd;
  }
  return da;
}
int main()
{
  int n;
  long long ans,tmp;
  while(~scanf("%d",&n))
  {
    scanf("%lld",&ans);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
      scanf("%lld",&tmp);
      ans=ans/gcd(ans,tmp)*tmp;
    }
    printf("%lld
",ans);
  }
  return 0;
}

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COJ 1320 Scoop Water

http://122.207.68.93/OnlineJudge/problem.php?id=1320

不难发现结果是卡特兰数，如果选卡特兰数连乘和那个公式，不会有问题

但是我选的是h[n]=h[n-1]*(4*n-2)/(n+1)

这样在连乘取模的时候，因为有除法操作，得到的结果可能就不一样了，这时需要求(n+1)关于MOD的逆元，

然后拿乘积乘以此逆元才是正确结果 这个就是扩展欧几里德算法 里面的x，y分别是a关于b和b关于a的逆元

扩展欧几里德算法 只不过是在求解a、b最大公约数的时候顺便把逆元也求出来了 所以叫extendGCD

具体见代码：

#include <cstdio>
#define MOD 1000000007
#define MAXN 10010
int a[MAXN];
long long extgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
  if(b==0)
  {
    x=1,y=0;
    return a;
  }
  long long r=extgcd(b,a%b,x,y);
  long long t=x;x=y;y=t-a/b*y;
  return r;
}
void calcCATALAN(int n){
  long long x,y;
  a[1]=1;
  int i;
  for(i=2;i<n;++i){
    x=a[i-1];
    a[i]=(x*(4*i-2))%MOD;
    extgcd(i+1,MOD,x,y);
    x=(x+MOD)%MOD;
    a[i]=(a[i]*x)%MOD;
  }
}
int main()
{
  calcCATALAN(MAXN);
  int k;
  while(scanf("%d",&k)!=EOF){
    printf("%d
",a[k]);
  }
  return 0;
}

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COJ 1163 寒衣调

http://122.207.68.93/OnlineJudge/problem.php?id=1163

跟上题一样 依然套extgcd的模版就好了...

#include<cstdio>
#define LL long long
#define REP(i,a,b) for(int i=a;i<b;i++)
#define MAXN 100010
LL a[MAXN];
int n,m;
LL ext_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1; y=0;
        return a;
    }
    LL r=ext_gcd(b,a%b,x,y);
    LL t=x; x=y; y=t-a/b*y;
    return r;
}
LL calc()
{
    LL k=1;
    REP(i,0,n) k=(k*a[i])%m;
    return k;
}
void solve()
{
    LL x,y,tot=calc();
    REP(i,0,n)
    {
        ext_gcd(a[i],m,x,y);
        x=(x+m)%m;
        printf(i==(n-1)?"%lld":"%lld ",(tot*x)%m);
    }
    printf("
");
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        REP(i,0,n) scanf("%lld",&a[i]);
        solve();
    }
    return 0;
}

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