题目描述
由小学知识可知 n 个点 (x_i,y_i) 可以唯一地确定一个多项式 y = f(x)。
现在，给定这 n 个点，请你确定这个多项式，并求出f(k)mod998244353 的值。
输入格式
第一行两个整数 n,k。
接下来 n 行，第 i 行两个整数 x_i,y_i。
输出格式
一行一个整数，表示 f(k)mod998244353 的值。
输入输出样例
3 100 1 4 2 9 3 16
10201
3 100 1 1 2 2 3 3
100
说明/提示
样例一中的多项式为 f(x)=x^2+2x+1，f(100) = 10201。
样例二中的多项式为 f(x)=x，f(100) = 100。
1≤n≤2×103，1≤xi,yi,k<998244353，x_i两两不同。
__________________________________________________
拉格朗日插值
给定n+1个点（x_0,y_0）,(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)
确定a_1*x^n+a_2*x^(n-1)+a_3*x^(n-2)+...+a_(n+1)*x^0
实际就是把n个点代入，解出n+1个系数。
再给你一个x求出对应的y值。
但是这个方法太慢，于是可以用拉格朗日插值法构造出这个函数，并解出y的值。
方法如下：
根据（x_0,y_0）我们可以构建一个函数，当x=x_0时，y=y_0；而代入x=x_1,x_2,...,x_n时y=0
y=y_0*((x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n))/((x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)...(x_0-x_n))
同样的方法，我们可以其它点构造出对应的函数。
y=y_1*((x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n))/((x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)...(x_1-x_n))
y=y_2*((x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)...(x-x_n))/((x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)...(x_2-x_n))
...
y=y_n*((x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n-1))/((x_n-x_0)(x_n-x_1)(x_n-x_2)...(x_n-x_n-1))
然后把它们加起来就是我们要的函数
y=sum_{i=0}^n y_i * prod _{i=0,i eq j}^n (x-x_j)/(x_i-x_j)
这样就可以用O(N^2)完成
__________________________________________________
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int maxn=2010; 4 const int mod=998244353; 5 int n; 6 int x[maxn],y[maxn],xx; 7 int qpow(int x,int p) 8 { 9 if(p==0)return 1; 10 int tp=qpow(x,p/2); 11 tp=1ll*tp*tp%mod; 12 if(p%2)tp=1ll*tp*x%mod; 13 return tp; 14 } 15 int lagrange(int n,int *x,int *y,int xi) 16 { 17 int ans=0; 18 for(int i=1;i<=n;++i) 19 { 20 int fz=1,fm=1; 21 for(int j=1;j<=n;++j) 22 { 23 if(i==j)continue; 24 fz=1ll*fz*(xi-x[j])%mod; 25 fm=1ll*fm*(x[i]-x[j])%mod; 26 } 27 ans=(1ll*ans+1ll*y[i]*fz%mod*qpow(fm,mod-2)%mod)%mod; 28 } 29 return (ans+mod)%mod; 30 } 31 32 int main() 33 { 34 scanf("%d%d",&n,&xx); 35 for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d%d",&x[i],&y[i]); 36 cout<<lagrange(n,x,y,xx)<<endl; 37 return 0; 38 }