摘要
本文验证了语义分割任务下，单通道输出和多通道输出时，使用交叉熵计算损失值的细节问题。对比验证了使用简单的函数和自带损失函数的结果，通过验证，进一步加强了对交叉熵的理解。
交叉熵损失函数
交叉熵损失函数的原理和推导过程，可以参考这篇博文，交叉熵的计算公式如下：
其中 (q) 为预测的概率，(q∈[0,1])， (p) 为标签，(p∈{0,1})。
而交叉熵损失函数则是利用上式计算每一个分类的交叉熵之和。对于概率，所有分类的概率 (q) 之和满足相加等于1，而对于标签，则需要进行one-hot编码，使得有且只有一个分类的 (p) 为1，其余的分类为0。
单通道输出时的交叉熵损失计算
首先，假设我们研究的是一个二分类语义分割问题。
网络的输入是一个 2×2 的图像，设置 batch_size 为 2，网络输出单通道特征图。网络的标签也是一个 2 ×2 的二进制掩模图（即只有0和1的单通道图像）。
我们在 pytorch 中将其定义：
import torch
# 假设输出一个 [batch_size=2, channel=1, height=2, width=2] 格式的张量 x1
x1 = torch.tensor(
[[[[ 0.43, -0.25],
[-0.32, 0.69]]],
[[[-0.29, 0.37],
[0.54, -0.72]]]])
# 假设标签图像为与 x1 同型的张量 y1
y1 = torch.tensor(
[[[[0., 0.],
[0., 1.]]],
[[[0., 0.],
[1., 1.]]]])
在进行交叉熵前，首先需要做一个 sigmoid 操作，将数值压缩到0到1之间：
# 根据二进制交叉熵的计算过程
# 首先进行sigmoid计算，然后与标签图像进行二进制交叉熵计算，最后取平均值，即为损失值
# 1. sigmoid
s1 = torch.sigmoid(x1)
s1
'''
out:
tensor([[[[0.6059, 0.4378],
[0.4207, 0.6660]]],
[[[0.4280, 0.5915],
[0.6318, 0.3274]]]]
'''
然后进行交叉熵计算，由于计算的是每个像素的损失值，所以要取个平均值：
# 2.交叉熵计算
loss_cal = -1*(y1*torch.log(s1)+(1-y1)*torch.log(1-s1)) # 此处相当于一个one-hot编码
loss_cal_mean = torch.mean()
loss_cal_mean
'''
out:
tensor(0.6861)
'''
为了验证结果，我们使用 pytorch 自带的二进制交叉熵损失函数计算：
# 使用torch自带的二进制交叉熵计算
loss_bce = torch.nn.BCELoss()(s1,y1)
loss_bce
'''
out:
tensor(0.6861)
'''
当计算损失值前没有进行 sigmoid 操作时，pytorch 还提供了包含这个操作的二进制交叉熵损失函数：
# 使用带sigmoid的二进制交叉熵计算
loss_bce2 = torch.nn.BCEWithLogitsLoss()(x1,y1)
loss_bce2
'''
out:
tensor(0.6861)
'''
可以看到，我们使用了三种方式，计算了交叉熵损失，结果一致。
多通道输出时的交叉熵损失计算
首先，假设我们研究的是一个二分类语义分割问题。
网络的输入是一个 2×2 的图像，设置 batch_size 为 2，网络输出多（二）通道特征图。网络的标签也是一个 2 ×2 的二进制掩模图（即只有0和1的单通道图像）。
我们在 pytorch 中将其定义：
# 假设输出一个[batch_size=2, channel=2, height=2, width=2]格式的张量 x1
x1 = torch.tensor([[[[ 0.3164, -0.1922],
[ 0.4326, -1.2193]],
[[ 0.6873, 0.6838],
[ 0.2244, 0.5615]]],
[[[-0.2516, -0.8875],
[-0.6289, -0.1796]],
[[ 0.0411, -1.7851],
[-0.3069, -1.0379]]]])
# 假设标签图像为与x1同型，然后去掉channel的张量 y1 （注意两点，channel没了，格式为LongTensor）
y1 = torch.LongTensor([[[0., 1.],
[1., 0.]],
[[1., 1.],
[0., 1.]]])
在进行交叉熵前，首先需要做一个 softmax 操作，将数值压缩到0到1之间，且使得各通道之间的数值之和为1：
# 1.softmax
s1 = torch.softmax(x1,dim=1)
s1
'''
out:
tensor([[[[0.4083, 0.2940],
[0.5519, 0.1442]],
[[0.5917, 0.7060],
[0.4481, 0.8558]]],
[[[0.4273, 0.7105],
[0.4202, 0.7023]],
[[0.5727, 0.2895],
[0.5798, 0.2977]]]])
'''
对于标签图，由于其张量的形状与网络输出张量不一样，因此需要做一个one-hot转换，什么是one-hot？请看这篇博文：
# 2.one-hot
y1_one_hot = torch.zeros_like(x1).scatter_(dim=1,index=y1.unsqueeze(dim=1),src=torch.ones_like(x1))
y1_one_hot
'''
out:
tensor([[[[1., 0.],
[0., 1.]],
[[0., 1.],
[1., 0.]]],
[[[0., 0.],
[1., 0.]],
[[1., 1.],
[0., 1.]]]])
'''
这里需要重点理解这个scatter_函数，他起到的作用十分关键，one-hot 转换时，其实可以理解为将一个同型的全1矩阵中的元素，有选择性的复制到全0矩阵中的过程，这里的选择依据就是我们的标签图，它决定了哪个位置和通道上的元素取值为 1 。在scatter_ 函数中，dim 决定了用于确定我们在哪个维度上开始定位要建立联系的元素，index是我们选择的依据。
按照交叉熵定义，继续计算：
# 交叉熵计算
loss_cal = -1 *(y1_one_hot * torch.log(s1))
loss_cal_mean = loss_cal.sum(dim=1).mean() # 在batch维度下计算每个样本的交叉熵
loss_cal_mean
'''
out:
tensor(0.9823)
'''
我们也可以使用 pytorch 自带的交叉熵损失函数计算：
loss_ce = torch.nn.CrossEntropyLoss()(x1,y1)
loss_ce
'''
tensor(0.9823)
'''
可以看到，两种方式结果一样。
结论
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交叉熵本质上将一群对象择其一进行研究，自然就变成一个二进制问题，即是这个对象或不是这个对象，然后将标签与概率融进公式中，计算损失值。对于每一个对象都可以计算一个损失值，求个平均值就是最后这个群体的损失值了。
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不论是sigmoid或者softmax，我们都是在有目的将数据规整到0到1之间，从而形成一个概率值，sigmoid针对的是二分类问题，因此算出一个概率，另一个用一减去就到了。多分类问题，由于最后会输出对应数量的值，softmax 能够将这些值转换到0到1，并满足加起来等于1，这样的话，当我们只研究其中一个类的概率时，其他类的概率自然就是用1减去这个类的概率了，又回到了二分类问题。
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对于二分类语义分割问题，其实采用上述两种方式都是可以的。
参考资料
[1] pytorch中的 scatter_()函数使用和详解
[2] pytorch交叉熵使用方法
[3] pytorch损失函数之nn.BCELoss()（为什么用交叉熵作为损失函数）
[4] pytorch损失函数之nn.CrossEntropyLoss()、nn.NLLLoss()
[6] Pytorch中Softmax、Log_Softmax、NLLLoss以及CrossEntropyLoss的关系与区别详解