强连通分量、割点、桥

一、强连通分量

    在有向图G中，如果任意两个不同的顶点相互可达，则该有向图为强连通的；一个有向图G的极大连通子图称为G的强连通分支；将有向图G的每一条边反向形成的图称为G的转置 Gt.

1.1 有向图的一些定理

1. 有向无环图中唯一出度为0的点，一定可以由任何点出发到达 
       图中节点的数目为有限多个，而且无环，因此从任何点出发往前走，一定终止于出度为0的点，否则走N+1步（N为图中节点的数目），则必然有一个点被走了两次，形成了环，与无环矛盾！

2. 有向无环图中所有入度不为0的点，一定可以由某个入度为0的点出发可达 
       由于无环，所以从任何入度不为0的点往回走，必然终止于一个入度为0的点。

1.2 强连通分量的求解

    一个有向图G可以存在多个极大连通子图，即多个强连通分支。求一个有向图的强连通分支的方法主要有：Korasaju算法和Tarjan算法。

1.2.1 Korasaju算法 
1. 深度优先遍历图G，算法每个节点u的结束时间f[u],起点如何选择无所谓； 
2. 深度优先遍历G的转置图Gt，选择遍历的起点的时候，按照节点的结束时间从大到小进行。遍历的过程中，一边遍历，一边给节点做分类标记，每找到一个新起点，分类标记就加1； 
3. 第2步中产生的标记值相同的节点构成深度优先森林中的一棵树，也即一个强连通分量

1.2.2 Tarjan算法 
1. 做一遍DFS，用dfn[i]表示编号为i的节点在DFS过程中的访问序号（也可以叫做开始时间）。DFS过程中会形成一棵搜索树，在搜索树上越先遍历到的节点，dfn的值就越小。dfn值越小的节点，就称为越“早”。 
2. low[i]表示从i节点出发DFS过程中i下方节点（开始时间大于dfn[i]，且由i可达的节点）所能到达的最早的节点的开始时间。初始时 low[i] = dfn[i]. 
3. DFS过程中，碰到哪个节点，就将哪个节点入栈。栈中节点只有在其所属的强连通分量已经全部求出时，才会出栈。 
4. 如果发现某节点u有边连接到栈里的节点v，则更新u的low值为 min(low[u], dfn[v])。若low[u]被更新为dfn[v]，则表明目前发现u可达的最早的节点是v。 
    （1）对于u的子节点v，从v出发进行的DFS结束回到u时，使得low[u] = min(low[u], low[v])。因为u可达v，所以v可达的最早的节点，也是u可达的。 
    （2）如果一个节点u，从其出发进行的DFS已经全部完成并回到u，而且此时 low[u] == dfn[u]，说明u可达的所有节点，都不能到达任何比u早的节点——那么，该节点u就是一个强连通分量在DFS搜索树中的根。此时，显然栈中u上方的节点，都是不能到达比u早的节点的。将栈中节点弹出，一直弹到u（包括u），弹出的节点就构成了一个强连通分量。

void Tarjan(int u){
    dfn[u] = low[u] = ++index;
    stack.push(u);
    for each(u,v) in E{
        if (v is not visited){
            Tarjan(v);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
        }else if (v in stack){
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
    if (dfn[u] == low[u]){ //u是一个强连通分量的根
        repeat
            v = stack.pop
            print v
        until (u == v)
    }//退栈，把整个强连通分量都弹出来
}

二、割点和桥

    无向连通图中，如果删除某点后，图变成不连通，则称该点为割点 
    无向连通图中，如果删除某边后，图变成不连通，则称该边为桥

求割点和桥的Tarjan算法

    思路和求有向图的强连通分量类似，在深度优先遍历整个图过程中形成一棵搜索树。定义dfn[u]为节点u第一次被访问到的时间（序号），low[u]为u或者u的子树中能够通过非父子边（父子边就是搜索树上的边）追溯到的最早的节点的DFS开始时间。 
    一个顶点u是割点，当且仅当满足（1）或（2） 
（1）u为树根，且u有多于一个子树 
（2）u不为树根，且存在(u,v)为树枝边（或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲），使得 dfn(u) <= low(v)

    一条边(u,v)是桥，当且仅当 
(u,v)为树枝边，且满足dfn(u) < low(v)。注意，(u,v)不能有重边。

Tarjan算法在DFS过程中判断割点或桥

void Tarjan(u){
   dfn[u] = low[u] = ++index;
   for each(u,v) in E{
        if (v is not visited){
            Tarjan(v)
            low[u] = min(low[u], low[v])
            if(d[u] < low[v])
                （u，v）为桥
        }else if (v 不是 u的父节点）{
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
    if (u 为根）
        u是割点 <=> u 有至少两个子节点
    else
        u是割点 <=> u 有一个子节点v，满足 dfn[u] <= low[v]
}

Tarjan算法之后判断割点或桥 
    可以先用Tarjan进行dfs算出所有点的low和dfn值，并记录dfs过程中每个点的父节点，然后再把所有点看一遍，看起low和dfn，以找出割点和桥。 
    找桥的时候，需要注意有无重边，若有重边，则不是桥。

三、无向连通图点双连通分支

    无向连通图的点双连通分支是指不包含割点的极大连通子图。 
1. 建立一个栈，存储当前双连通分支，搜索图时，每找到一条树枝边或反向边（连到树中祖先的边），就把这条边加入栈中。 
2. 如果遇到某树枝边(u,v)满足dfn[u] <= low[v]，说明u是一个割点，此时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边(u,v)，取出的这些边与其关联的点，组成一个点双连通分支。 
3. 割点可以属于多个点双连通分支，其余点和每条边只能属于一个点双连通分支

四、无向连通图边连通分支

    无向连通图的边双连通分支是指不包含桥的极大连通子图。 
求无线连通图的边连通分支，只需要在求出所有的桥以后，把桥边删除，原图就变成了多个连通块，则每个连通块就是一个边连通分支。 
    桥不属于任何一个边连通分支，其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边连通分支。