差分约束系统

差分约束系统 
    如果一个系统由n个变量和m个不等式组成，形如 Xj - Xi <= Bk, i, j属于[1, n]， k属于[1,m]，这样的系统成为差分约束系统。差分约束系统通常用于求关于一组变量的不等式组。

转换成图 
    可以将差分约束系统转换为单源最短路径来进行求解。 
    记Xi表示图中源点s到达图中节点i的最短路径长度，Xj为图中源点s到达节点j的最短路径长度，依次转换... 并将Bk视为图中节点i到节点j的边的长度，则根据 min_dist[i] + dist[i-->j] >= min_dist[j]可以得到Xi + Bk >= Xj， 这和初始给定的约束条件 Xj - Xi <= Bk 一致。

应用 
    于是，就将给定的约束变量Xi,Bk和构造出来的图的节点和最短路径对应起来。接着就可以利用最短路来求解差分约束系统的目标结果。 
    比如，给出一系列差分约束条件 Xj - Xi <= Bk ... 求出 Xt - Xs 的最大值。 
显然，将差分约束转换为图之后，Xt-Xs的最大值，就等于图中s到t的最短路径。这是因为通过转化的时候各个Xi都转换为s到节点i的最短距离，那么Xt为源点s到节点t的最短距离，Xs=0，于是，Xt - Xs就等于图中s到t的最短距离。

需要注意的几个问题 
（1）Xj - Xi >= k可以转换为 Xi - Xj <= -k，这样可能会出现负权边，相应的求最短路就不能用Dijkstra算法
（2）Xj - Xi = k 转换为 Xj - Xi <= k 和 Xj - Xi >= k（即Xi - Xj <= -k）处理 
（3）当图连通时，只需要对源点进行一次SPFA即可，若不连通，则需要对每个顶点SPFA一次 
（4）在求最短路还需要判断是否存在负权和环，若存在负权和环，则该差分约束系统不存在可行解。 
（5）对于 Xj - Xi < k 或者 Xj - Xi > k，差分约束系统只针对 >= 或者 <= ，还需要将 > < 转换变成 >=, <=.

参考 
http://www.cnblogs.com/pony1993/archive/2012/09/01/2666996.html