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  • AT2062 ~K Perm Counting 构造+动态规划+容斥

    看到这道题第一个想法肯定是按照套路钦定一些地方不合法,然后其他地方随便选,最后来一个二项式反演.   

    但是我们发现这个 DP 状态很难设置.           

    然后你发现一个非常神的性质:由于题中给的是绝对值,所以说一个位置要是不合法的话,只有两种数值的可能(+k和-k)  

    然后把位置 $i$ 和值 $i+/-k$ 相连,形成一个二分图(左面 $n$ 个点表示位置,右面 $n$ 个点表示值,二者有连边意味着不合法)    

    你发现每一个值/位置都只出现在一条链中,然后链和链之间互不影响.  

    那么如果钦定 $m$ 个位置不合法,就意味着在二分图中有一个匹配大小 $=m$ 的边集.               

    所以我们就可以直接在链上进行动态规划. 

    设 $f[i][j][0/1]$ 表示当前到第 $i$ 个点,已经选了 $j$ 个不合法,$i$ 是否和链中前一个位置相连.    

    这个就非常好转移了.     

    转移完这个后用二项式反演容斥一下即可. 

    code: 

    #include <cstdio> 
    #include <algorithm>  
    #define ll long long   
    #define N 2008  
    #define mod 924844033 
    #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) 
    using namespace std; 
    int f[N<<1][N<<1][2],link[N<<1],fac[N<<1];  
    int main() 
    { 
        // setIO("input");  
        int i,j,n,k,tot=0; 
        scanf("%d%d",&n,&k);     
        fac[0]=1,f[0][0][0]=1;    
        for(i=1;i<=n;++i) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;     
        for(i=1;i<=k;++i) 
        {
            for(int t=1;t<=2;++t) 
                for(j=i;j<=n;j+=k) 
                    if(j!=i) link[++tot]=1; else ++tot;     
        }    
        for(i=1;i<=tot;++i) 
        {
            for(j=0;j<=n;++j) 
            {   
                f[i][j][0]=(ll)(f[i-1][j][0]+f[i-1][j][1])%mod;    
                if(link[i]) f[i][j][1]=f[i-1][j-1][0];      
            }
        }    
        int ans=0; 
        for(i=0;i<=n;++i) 
        {
            int tmp=(ll)(f[n<<1][i][0]+f[n<<1][i][1])%mod;       
            tmp=(ll)tmp*fac[n-i]%mod;      
            if(i&1) ans=(ll)(ans-tmp+mod)%mod;        
            else ans=(ll)(ans+tmp)%mod;   
        }   
        printf("%d
    ",ans); 
        return 0; 
    }
    

      

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