luoguP5162 WD与积木 指数型生成函数+多项式求逆

标签：指数型生成函数，多项式求逆

感觉这个生成函数还是蛮有难度的.

每一层的指数型数的生成函数 $F(x)=sum_{i=1}^{infty} frac{1}{i!}x^i$

那么所有层的生成函数就是 $G(x)=sum_{i=1}^{infty} F^i(x)$

我们注意到因为这道题划分规则比较奇特，所以我们在 $G(x)$ 的生成函数那里不用除阶乘.

$Rightarrow sum_{i=1}^{infty} F^i(x)=sum_{i=0}^{infty} F^i(x)-F^0(x)=frac{1}{1-F(x)}-1$

所以这个分母直接这么求就好了，分子同理.

但是呢，我们发现一个严重的问题：指数型生成函数中那个 $n$ 次项系数还需要乘上一个阶乘.

我们可以证明分子和分母没有出现 $n! imes a_{n}+b_{n}$ 的情况，所以那个阶乘可以直接抵消.

#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <string>  
#define ll long long
#define ull unsigned long long   
using namespace std;
namespace IO
{
    char buf[100000],*p1,*p2;
    #define nc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
    int rd()
    {
        int x=0; char s=nc();
        while(s<'0') s=nc();
        while(s>='0') x=(((x<<2)+x)<<1)+s-'0',s=nc();
        return x;
    }       
    void print(int x) {if(x>=10) print(x/10);putchar(x%10+'0');}
    void setIO(string s)
    {
        string in=s+".in";
        string out=s+".out";  
        freopen(in.c_str(),"r",stdin); 
        // freopen(out.c_str(),"w",stdout);
    }   
};    
const int G=3;
const int N=2000005; 
const int mod=998244353;                 
int A[N],B[N],w[2][N],mem[N*100],*ptr=mem,inv[N],tmpa[N],tmpb[N],aa[N],bb[N];        
inline int qpow(int x,int y)
{
    int tmp=1;   
    for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)     if(y&1) tmp=(ll)tmp*x%mod;
    return tmp;  
}    
inline int INV(int a) { return qpow(a,mod-2); }      
inline void ntt_init(int len)
{
    int i,j,k,mid,x,y;    
    w[1][0]=w[0][0]=1,x=qpow(3,(mod-1)/len),y=qpow(x,mod-2);
    for (i=1;i<len;++i) w[0][i]=(ll)w[0][i-1]*x%mod,w[1][i]=(ll)w[1][i-1]*y%mod;       
}
void NTT(int *a,int len,int flag)
{
    int i,j,k,mid,x,y;             
    for(i=k=0;i<len;++i)
    {
        if(i>k)    swap(a[i],a[k]);
        for(j=len>>1;(k^=j)<j;j>>=1);
    } 
    for(mid=1;mid<len;mid<<=1)          
        for(i=0;i<len;i+=mid<<1)
            for(j=0;j<mid;++j)        
            {
                x=a[i+j], y=(ll)w[flag==-1][len/(mid<<1)*j]*a[i+j+mid]%mod;
                a[i+j]=(x+y)%mod;
                a[i+j+mid]=(x-y+mod)%mod; 
            } 
    if(flag==-1)
    {
        int rev=INV(len); 
        for(i=0;i<len;++i)    a[i]=(ll)a[i]*rev%mod; 
    }
}            
inline void getinv(int *a,int *b,int len,int la)         
{
    if(len==1) { b[0]=INV(a[0]);   return; }
    getinv(a,b,len>>1,la);  
    int l=len<<1,i; 
    memset(A,0,l*sizeof(A[0]));            
    memset(B,0,l*sizeof(A[0]));  
    memcpy(A,a,min(la,len)*sizeof(a[0]));                                                    
    memcpy(B,b,len*sizeof(b[0]));           
    ntt_init(l); 
    NTT(A,l,1),NTT(B,l,1);    
    for(i=0;i<l;++i)  A[i]=((ll)2-(ll)A[i]*B[i]%mod+mod)*B[i]%mod;
    NTT(A,l,-1);                               
    memcpy(b,A,len<<2);        
}       
void get_dao(int *a,int *b,int len)
{
    for(int i=1;i<len;++i) b[i-1]=(ll)i*a[i]%mod;   
    b[len-1]=0; 
}                   
void get_jifen(int *a,int *b,int len)
{
    for(int i=1;i<len;++i) b[i]=(ll)INV(i)*a[i-1]%mod;  
    b[0]=0; 
}
void get_ln(int *a,int *b,int len,int la)
{
    int l=len<<1,i;  
    memset(tmpa,0,l<<2);
    memset(tmpb,0,l<<2);  
    get_dao(a,tmpa,min(len,la));   
    getinv(a,tmpb,len,la); 
    ntt_init(l);         
    NTT(tmpa,l,1),NTT(tmpb,l,1); 
    for(i=0;i<l;++i) tmpa[i]=(ll)tmpa[i]*tmpb[i]%mod;   
    NTT(tmpa,l,-1);  
    get_jifen(tmpa,b,len);     
}      
void get_exp(int *a,int *b,int len,int la)
{
    if(len==1) { b[0]=1; return; }                          
    int l=len<<1,i;
    get_exp(a,b,len>>1,la);              
    for(i=0;i<l;++i)  aa[i]=bb[i]=0; 
    for(i=0;i<(len>>1);++i) aa[i]=b[i];           
    get_ln(b,bb,len,len>>1);                                              
    for(i=0;i<len;++i) bb[i]=(ll)(mod-bb[i]+(i>la?0:a[i]))%mod;                              
    bb[0]=(bb[0]+1)%mod;  
    ntt_init(l);  
    NTT(aa,l,1),NTT(bb,l,1);  
    for(i=0;i<l;++i) aa[i]=(ll)aa[i]*bb[i]%mod;    
    NTT(aa,l,-1);     
    for(i=0;i<len;++i)  b[i]=aa[i];    
}
struct poly
{
    int len,*a;  
    poly(){}     
    poly(int l) {len=l,a=ptr,ptr+=l; }          
    inline void rev() { reverse(a,a+len); }     
    inline void fix(int l) {len=l,a=ptr,ptr+=l;} 
    inline void get_mod(int l) { for(int i=l;i<len;++i) a[i]=0;  len=l;  }
    inline poly dao()
    {      
        poly re(len-1); 
        for(int i=1;i<len;++i)  re.a[i-1]=(ll)i*a[i]%mod;       
        return re;  
    }  
    inline poly jifen()
    {
        poly c;  
        c.fix(len+1);      
        c.a[0]=0;
        for(int i=1;i<=len;++i) c.a[i]=(ll)a[i-1]*INV(i)%mod;              
        return c; 
    }         
    inline poly Inv(int l)
    {               
        int lim=1; 
        while(lim<=l) lim<<=1;        
        poly b(lim);   
        getinv(a,b.a,lim,len);                                   
        return b;                      
    }                 
    inline poly ln(int l)
    {
        int lim=1;
        while(lim<=l) lim<<=1;                    
        poly b(lim);   
        get_ln(a,b.a,lim,len);
        return b;   
    }                        
    inline poly exp(int l)
    {  
        int lim=1; 
        while(lim<=l) lim<<=1;  
        poly b(lim); 
        get_exp(a,b.a,lim,len);       
        return b; 
    }                              
    inline poly operator*(const poly &b) const
    {
        poly c(len+b.len-1); 
        if(c.len<=500)
        {       
            for(int i=0;i<len;++i) 
                if(a[i])   for(int j=0;j<b.len;++j)  c.a[i+j]=(c.a[i+j]+(ll)(a[i])*b.a[j])%mod;    
            return c;
        }
        int n=1;  
        while(n<(len+b.len)) n<<=1;
        memset(A,0,n<<2);
        memset(B,0,n<<2); 
        memcpy(A,a,len<<2);                           
        memcpy(B,b.a,b.len<<2);                
        ntt_init(n);      
        NTT(A,n,1), NTT(B,n,1);   
        for(int i=0;i<n;++i) A[i]=(ll)A[i]*B[i]%mod; 
        NTT(A,n,-1); 
        memcpy(c.a,A,c.len<<2);
        return c;     
    }  
    poly operator+(const poly &b) const
    {
        poly c(max(len,b.len));  
        for(int i=0;i<c.len;++i)  c.a[i]=((i<len?a[i]:0)+(i<b.len?b.a[i]:0))%mod; 
        return c;  
    }
    poly operator-(const poly &b) const
    {  
        poly c(len);     
        for(int i=0;i<len;++i) 
        {
            if(i>=b.len)   c.a[i]=a[i];
            else c.a[i]=(a[i]-b.a[i]+mod)%mod;  
        }
        return c;
    }
    poly operator/(poly u)
    {
        int n=len,m=u.len,l=1;
        while(l<(n-m+1)) l<<=1;                         
        rev(),u.rev();          
        poly v=u.Inv(l);  
        v.get_mod(n-m+1);      
        poly re=(*this)*v; 
        rev(),u.rev();  
        re.get_mod(n-m+1);       
        re.rev();
        return re; 
    }    
    poly operator%(poly u)
    {    
        poly re=(*this)-u*(*this/u);      
        re.get_mod(u.len-1);     
        return re;  
    }                   
}p[N<<2],pr,po,tmp;        
// 插值部分
namespace Inter
{
    int xx[N],yy[N];            
    #define lson now<<1
    #define rson now<<1|1         
    inline void pushup(int l,int r,int now)
    {
        int mid=(l+r)>>1;    
        if(r>mid)   p[now]=p[lson]*p[rson];
        else p[now]=p[lson]; 
    }
    void build(int l,int r,int now,int *pp)
    {
        if(l==r)
        {   
            p[now].fix(2);
            p[now].a[0]=mod-pp[l];
            p[now].a[1]=1; 
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1; 
        if(l<=mid)  build(l,mid,lson,pp);   
        if(r>mid)   build(mid+1,r,rson,pp);        
        p[now]=p[lson]*p[rson]; 
    }  
    // 多项式多点求值
    void get_val(int l,int r,int now,poly b,int *pp,int *t)
    {
        if(b.len<=500)   
        { 
            for(int i=l;i<=r;++i)
            {
                ull s=0;           
                for(int j=b.len-1;j>=0;--j)   
                {
                    s=((ull)s*pp[i]+b.a[j])%mod;
                    if(!(j&7))   s%=mod;     
                }
                t[i]=s%mod; 
            }
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;   
        if(l<=mid)   get_val(l,mid,lson,b%p[lson],pp,t);
        if(r>mid)    get_val(mid+1,r,rson,b%p[rson],pp,t);   
    } 
    // 多项式快速插值  
    poly solve_polate(int l,int r,int now,int *t)
    {
        if(l==r)
        {
            poly re(1); 
            re.a[0]=t[l]; 
            return re; 
        }
        int mid=(l+r)>>1;  
        poly L,R;
        L=solve_polate(l,mid,lson,t); 
        R=solve_polate(mid+1,r,rson,t); 
        return L*p[rson]+R*p[lson];         
    }        
};      
int fac[N];  
int main() 
{ 
    // IO::setIO("input"); 
    int i,j,n=100008;             
    fac[0]=1;   
    pr.fix(n);                     
    tmp.fix(n); 
    for(i=1;i<n;++i) 
    {
        fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;       
        tmp.a[i]=INV(fac[i]);  
        pr.a[i]=mod-INV(fac[i]);     
    }               
    pr.a[0]=(ll)(pr.a[0]+1)%mod;     
    pr=pr.Inv(n);   
    tmp=tmp*pr*pr;                           
    int T; 
    scanf("%d",&T); 
    while(T--) 
    {
        int o; 
        scanf("%d",&o);                 
        printf("%d
",(ll)tmp.a[o]*INV(pr.a[o])%mod);               
    }  
    return 0;
}