[国家集训队]整数的lqp拆分 数学推导 打表找规律

题解：

考场上靠打表找规律切的题，不过严谨的数学推导才是本题精妙所在：
求：$sumprod_{i=1}^{m}F_{a{i}}$

设 $f(i)$ 为 $N=i$ 时的答案，$F_{i}$ 为斐波那契数列第 $i$ 项。
由于 $a$ 序列是有序的，要求的答案可以表示成：$f(i)=sum_{j=1}^{i}f(j)*F_{i-j}$
由于斐波那契数列第 0 项是 0，显然可以表示成：
$f(i)=sum_{j=1}^{i-1}f(j)*F_{i-j}$
考虑一下 $f(i+1)$ 和 $f(i)$ 的递推关系：

$f(i+1)-f(i)=sum_{j=1}^{i}f(j)*F_{i-j+1}-sum_{j=1}^{i-1}f(j)*F_{i-j}$

考虑等式右边：

$sum_{j=1}^{i-1}f(j) imes (F_{a_{i}+1-j}-F_{a_{i}-j})+f(i)$

$sum_{j=1}^{i-1}f(j) imes F_{a_{i}-1-j}+f(i)$

$f(i-1)+f(i)$,

于是我们就能推出 $f(i)=2 imes f(i-1)+f(i-2)$

Code:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
typedef long long ll;
using namespace std;
void setIO(string a){
	freopen((a+".in").c_str(),"r",stdin);
	freopen((a+".out").c_str(),"w",stdout);
}
const ll mod=1e9+7;
const int maxn=1000000+5;
ll f[maxn],ans[maxn];
int main(){
	setIO("math");
	int n;
	scanf("%d",&n);
	f[0]=0,f[1]=1,ans[1]=1;
	for(int i=2;i<maxn;++i){
		f[i]=f[i-1]+f[i-2];
		f[i]%=mod;
	}
	for(int i=1;i<n;++i){
		ans[i+1]=ans[i]*2+ans[i-1];
		ans[i+1]%=mod;
	}
	printf("%lld
",ans[n]);
	return 0;
}