数制与编码--计数体制

进位计数体制即按进位方式实现计数的一种规则，是用统一的符号和规则表示数的一种方法。在日常生活中我们就是按进位计数体制来进行计数的，如十进制、十二进制、六十进制等等。对于任何一个数，我们可以用不同的进位体制来表示，但不同进位计数体制的运算方法和难易程度各不相同，对数字系统的性能有很大影响。

1.十进制数

1、进位计数制

数制：用一组统一的符号和规则表示数的方法

2、记数法

位置计数法：例：123.45     读作：一百二十三点四五

按权展形式：例：123.45=1×10²+2×10¹+3×10⁰+4×10^-1+5×10^-2

3、基与基数

用来表示数的数码的集合称为基（0—9）,    集合的大小称为基数(十进制10)。

4、权

在十进制中，10的整幂次方称为10进制数的权。

2.二进制数的表示

对于任意一个二进制数N, 用位置记数法可表示为：(N)₂=(a_n-1a_n-2 … a₁a₀. a_-1a_-2… a_-m)₂

用权展开式表示为：(N)₂=(a_n-1×2^n-1+a_n-2×2^n-2… a₁×2¹+a₀×2⁰. a_-1×2^-1+a_-2×2^-2… a_-m×2^-m)₂

二进制数的特点:

(1)只有两个数码, 很容易用物理器件来实现。
(2)运算规则简单。

(3)可使用逻辑代数这一数学工具。

(4)节省设备

注：八进制数和十六进制数同理二进制数，只是十六进制每位可取16个不同的数字符号（即0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F）。八进制为逢八进一，十六进制为逢十六进一。

3.数制间转换

(1)任何两个α、β进制数之间的转换方法为：先将α进制的整数在α进制中连续除以β，求得各次余数；然后将各余数替代成β进制中相应的数字符号；即得β进制的整数。

例如：将十进制数(25)₁₀转换为二进制数(11001)₂的过程：

(2)任何两个α、β进制小数之间的转换方法为：先将α进制的小数在α进制中连续乘以β求得各次乘积的整数部分；然后将各整数替代成β进制中相应的数字符号；即得β进制的小数。转换时小数的位数由乘积等于0或由所需精度确定。

例如：将十进制小数0.6875转换为二进制数(0.1011)₂的过程：