BZOJ 3675 [Apio2014]序列分割 (斜率优化DP)

洛谷传送门

题目大意：让你把序列切割k次，每次切割你能获得 这一整块两侧数字和的乘积 的分数，求最大的分数并输出切割方案

神题= =

搞了半天也没有想到切割顺序竟然和答案无关...我太弱了

证明很简单，就是乘法分配律，把式子展开就行了

定义$s_{i}$为序列$a$的前缀和，定义$f[k][i]$表示第$k$次切割是在第$i$个位置的后面，$f[k][i]=max(f[k-1][j]+(s_{i}-s_{j})*(s_{n}-s_{i}))$

展开式子，移项，发现$x$递增，斜率$k$也递增，用队列维护上凸包就行了

至于记录方案，另开一个数组，记录从哪转移来的就行了

复杂度$O(nk)$

又没长记性把$i$打成$j$了（捂脸）

#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N1 101000
#define M1 205
#define ll long long
#define dd double  
#define uint unsigned int
#define idx(X) (X-'0')
using namespace std;

int gint()
{
    ll ret=0;int fh=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')fh=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){ret=ret*10+c-'0';c=getchar();}
    return ret*fh;
}
int n,K;
int a[N1];
ll sa[N1],f[2][N1],x[N1],y[N1];
int fa[M1][N1];
int que[N1],ret[N1];

int main()
{
    freopen("t2.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&K);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=gint(),sa[i]=sa[i-1]+a[i];
    int now=1,pst=0;
    for(int k=1;k<=K;k++)
    {
        int hd=1,tl=0,j;
        que[++tl]=0;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            while(hd+1<=tl&&(y[que[hd+1]]-y[que[hd]])>=-(x[que[hd+1]]-x[que[hd]])*sa[i])
                hd++;
            j=que[hd];
            f[now][i]=f[pst][j]+(sa[i]-sa[j])*(sa[n]-sa[i]);
            fa[k][i]=j;
            x[i]=sa[i],y[i]=f[pst][i]-sa[i]*sa[n];
            while(hd+1<=tl&&(y[i]-y[que[tl-1]])*(x[que[tl]]-x[que[tl-1]])>=(y[que[tl]]-y[que[tl-1]])*(x[i]-x[que[tl-1]]))
                tl--;
            que[++tl]=i;
        }swap(now,pst);
    }
    ll ans=0,id=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
        if(f[pst][i]>ans)
        ans=f[pst][i],id=i;
    for(int k=K;k>=1;k--)
        ret[k]=id,id=fa[k][id];
    printf("%lld
",ans);
    for(int k=1;k<=K;k++)
        printf("%d ",ret[k]);
    puts("");
    return 0;
}