[网络流24题] 太空飞行计划问题 (最大流->最大权闭合图)

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做这道题之前建议先看这篇论文，虽然论文里很多地方用了很多术语，但hbt神犇讲得很明白

这篇题解更加偏向于感性理解

把问题放到二分图上，左侧一列点是实验，权值为$p[i]$，右侧一列点是仪器，权值为$c[i]$，左侧向右侧连接了许多条出边

如果想获得$p[i]$，需要保证i的所有出边都被选上了

按照论文里最大权闭合图的做法，实验和源点$s$相连，流量为$p[i]$，仪器和汇点$t$相连，流量为$c[i]$，实验和仪器之间的边流量为$inf$

最终的答案就是实验带来的报酬总和-这个图的最大流，即报酬总和去掉 报酬填补费用的总和 ，就是净收益

我们如何比较感性地理解它呢

求最大流的过程，可以看成用实验的钱消去仪器的钱的过程

而有一些实验可能先被遍历到，而这次实验的报酬小于所需仪器的总花费，即这次实验有点亏，但买了给其他实验用的仪器，而其他实验可以把这些钱补回来

在图上的体现就是，有其他实验的流量沿着反向边流向了这次实验

通过求最小割，我们把图分割成了两块，一块包含源点，一块包含汇点

源点指向的每个联通块中，都至少存在一个点，源点向它的流量$>0$，那么这个联通块里的实验仪器组合才是获利的

那么最终答案就是总获利-最大流，方案就是再进行一次$bfs$，$dep$有值的点，即和源点在同一联通块里的点。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N1 350
#define M1 3010
#define ll long long
#define dd double
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int gint()
{
    int ret=0,fh=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')fh=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){ret=ret*10+c-'0';c=getchar();}
    return ret*fh;
}

int n,m,nm,S,T;
int p[N1],c[N1];  
struct Edge{
int head[N1],to[M1<<1],nxt[M1<<1],flow[M1<<1],cte;
void ae(int u,int v,int F)
{
    cte++; to[cte]=v; flow[cte]=F;  
    nxt[cte]=head[u]; head[u]=cte;
}
}e;

int que[M1],hd,tl,dep[N1],cur[N1];
int bfs(Edge &E)
{
    int x,j,v;
    memset(dep,-1,sizeof(dep)); memcpy(cur,E.head,sizeof(cur));
    hd=1,tl=0; que[++tl]=S; dep[S]=0; 
    while(hd<=tl)
    {
        x=que[hd++];
        for(j=E.head[x];j;j=E.nxt[j])
        {
            v=E.to[j]; if(dep[v]!=-1||!E.flow[j]) continue;
            dep[v]=dep[x]+1; que[++tl]=v;
        }
    }
    return dep[T]!=-1;
}
int dfs(Edge &E,int x,int limit)
{
    int j,v,flow,ans=0; if(x==T||!limit) return limit;
    for(j=cur[x];j;j=E.nxt[j])
    {
        cur[x]=j; v=E.to[j];
        if( dep[v]==dep[x]+1 && (flow=dfs(E,v,min(E.flow[j],limit))) )
        {
            limit-=flow; ans+=flow;
            E.flow[j]-=flow; E.flow[j^1]+=flow;
            if(!limit) break;
        }
    }
    return ans;
}
int use[N1],de;
void Dinic()
{
    int mxflow=0,x,j,v,i,flag,sum=0;
    for(i=1;i<=m;i++) sum+=p[i];
    while(bfs(e)) mxflow+=dfs(e,S,inf);
    bfs(e);
    for(i=1;i<=m;i++) if(dep[i]!=-1) printf("%d ",i); puts("");
    for(i=m+1;i<=m+n;i++) if(dep[i]!=-1) printf("%d ",i-m); puts("");
    printf("%d
",sum-mxflow);
}

char str[1000];
int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    int i,j,x,y,flag,slen; S=m+n+1,T=m+n+2; e.cte=1;
    for(i=1,slen=0;i<=m;i++)
    {
        p[i]=gint(); e.ae(S,i,p[i]), e.ae(i,S,0);
        memset(str,0,sizeof(str)); cin.getline(str,1000); slen=0;
        while(sscanf(str+slen,"%d",&x)==1)
        {
            e.ae(i,x+m,inf); e.ae(x+m,i,0); 
            if(!x) slen++;
            else{ while(x) x/=10,slen++;}
            slen++;
        }
    }
    for(i=m+1;i<=m+n;i++) c[i]=gint(), e.ae(i,T,c[i]), e.ae(T,i,0);
    Dinic();
    return 0;
}