UVA 12633 Super Rooks on Chessboard (生成函数+FFT)

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题目大意：给你一张网格，上面有很多骑士，每个骑士能横着竖着斜着攻击一条直线上的格子，求没被攻击的格子的数量总和

好神奇的卷积

假设骑士不能斜着攻击

那么答案就是没被攻击的 行数*列数

接下来考虑斜着攻击对答案的贡献

以左下角为坐标原点建立坐标系，发现一条对角线的点的$(x+y)$坐标是相同的

考虑卷积，设计两个生成函数$a,b$

如果第i行没骑士，则$a_{i}=1$，反之为$0$

如果第i列没骑士，则$b_{i}=1$，反之为$0$

我们对两个式子进行卷积，可以求出每一条对角线上还有多少个空格子

答案就是$sum$ 没有骑士的对角线的空格子数

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N1 (1<<18)
#define M1 (N1<<1)
#define ll long long 
#define dd double
#define idx(X) (X-'a')
using namespace std;

int gint()
{
    int ret=0,fh=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')fh=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){ret=ret*10+c-'0';c=getchar();}
    return ret*fh;
}
int T,n,m,num,r[N1];
int nt[N1],x[N1],y[N1];
const dd pi=acos(-1);

struct cp{
dd x,y;
friend cp operator + (const cp &s1,const cp &s2){ return (cp){s1.x+s2.x,s1.y+s2.y}; }
friend cp operator - (const cp &s1,const cp &s2){ return (cp){s1.x-s2.x,s1.y-s2.y}; }
friend cp operator * (const cp &s1,const cp &s2){ return (cp){s1.x*s2.x-s1.y*s2.y,s1.y*s2.x+s1.x*s2.y}; }
}a[N1],b[N1],c[N1];

void init()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(b,0,sizeof(b));
    memset(c,0,sizeof(c));
    memset(nt,0,sizeof(nt));
}
void FFT(cp *s,int len,int type)
{
    int i,j,k; cp wn,w,t;
    for(i=0;i<len;i++) if(i<r[i]) swap(s[i],s[r[i]]);
    for(k=2;k<=len;k<<=1)
    {
        wn=(cp){cos(2.0*type*pi/k),sin(2.0*type*pi/k)};
        for(i=0;i<len;i+=k)
        {
            w=(cp){1,0};
            for(j=0;j<(k>>1);j++,w=w*wn)
            {
                t=w*s[i+j+(k>>1)];
                s[i+j+(k>>1)]=s[i+j]-t;
                s[i+j]=s[i+j]+t;
            }
        }
    }
}
void FFT_Main(int len)
{
    FFT(a,len,1); FFT(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) c[i]=a[i]*b[i];
    FFT(c,len,-1);
    for(int i=0;i<len;i++) c[i].x=c[i].x/len;
}

int main()
{
    scanf("%d",&T); int t;
    for(t=1;t<=T;t++){
    
    init();
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&num);
    int i,j,de,len,L; ll ans=0;
    for(i=1;i<=num;i++) x[i]=n-gint(), y[i]=gint()-1, a[x[i]].x=-1, b[y[i]].x=-1, nt[x[i]+y[i]]=1;
    for(i=0;i<n;i++) a[i].x++;
    for(i=0;i<m;i++) b[i].x++;
    for(len=1,L=0;len<n+m-1;len<<=1,L++);
    for(i=0;i<len;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    FFT_Main(len);
    for(i=0;i<=n+m-2;i++) if(!nt[i]) ans+=(int)(c[i].x+0.1);
    printf("Case %d: %lld
",t,ans);
    
    }
    return 0;
}