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  • 一些乱七八糟的数学问题

    1.错位排序:

    错位排序数列:1,2,9,44,265......

    给出一个1~n的排列,现在把它打乱,让每一位上的数和它的标号都不相同,求所有的打乱方案数

    考虑1~n的全排列的数量,是n!

    那么,当某一位上的数和它的标号相同(其他位是否相同先不考虑)的情况,那么打乱方案数是(n-1)!

    可以看错把这一位去掉,剩下的数任意排列的方案数,一共n位,总数量就是C_{n}^{1}*(n-1)!

    发现会多减掉有两位都标号相同的情况,要加回来C_{n}^{2}*(n-2)!

    发现是一个容斥原理,继续推就行了

    公式是sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i}(n-i)!*(-1)^{i-1}

     

     

    2.卡特兰数

    卡特兰数列:1,2,5,14......

    矩阵递推式长这样f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]

    形成的矩阵是这样的

    1

    1  1

    1  2  2

    1  3  5  5 

    1  4  9  14 14

    1  5  14 28 42 42 

    ......

    很少见的递推比通项还复杂的数列

    源公式:F[i]=F[0]*F[i-1]+F[1]*F[i-2]...=sum_{i=0}^{n/2}F[i]*F[n-i]

    递推公式:F[i]=(4n-2)/(n+1)*F[i-1]

    通项公式:F[i]=C_{2n}^{n}/(n+1)=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}

    具体推导挺复杂的

    一些题目,比如求元素出栈方案数,多边形划分三角形等等

    3.数论公式

    约数个数和$d(ij)=sumlimits_{x|i}sumlimits_{y|j}[gcd(x,y)==1]$

    欧拉函数$sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m}varphi (i,j)=sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m}frac{varphi (i)varphi (j)gcd(i,j)}{varphi (gcd(i,j))}$

    平方和公式$frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=sum_{i=1}^{n}i^{2}$

    立方和公式$(frac{n(n+1)}{2})^{2}=sum_{i=1}^{n}i^{3}$

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/guapisolo/p/9744447.html
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