CF451E Devu and Flowers (组合数学+容斥)

题目大意：给你$n$个箱子，每个箱子里有$a_{i}$个花，你最多取$s$个花，求所有取花的方案，$n<=20$,$s<=1e14$,$a_{i}<=1e12$

容斥入门题目

把取花想象成往箱子里放花，不能超过箱子上限

$n$很小，考虑状压

如果去掉$a_{i}$的限制，我们取物品的方案数是$C_{s+n-1}^{n-1}$，可以想象成$s+n-1$个小球，我们取出$n-1$个隔板，分隔出来的其他$n$个部分就是每个箱子里花的数量

但这样会算入不合法的方案，我们需要再去掉不合法的方案

假设我们要满足i合法，那么首先分配给$i$，$ai+1$朵花，来保证它是不合法的

然后，剩余$s+n-(ai+1)-1$朵花，我们仍然要分配给$n$个箱子，取出$n-1$个隔板，总方案数减去$C_{s+n-(ai+1)-1}^{n-1}$

然而我们由算入了一些情况，即$i$不合法，$j$也不合法$(j!=i)$，在计算$i$和计算$j$时都去掉了这种情况，我们还要把它加回来

总方案再加回来$C_{s+n-(ai+aj+2)-1}^{n-1}$

然后又多减掉了$i,j,k$都不合法....依次容斥即可

公式太长，也不好理解就不列了

这道题的组合数很大，不能直接求，我们需要一些优化

因为$n$很小，但$s$很大，所以上下化简掉阶乘里那一段特别长的部分，剩下的$O(n)$暴力计算就行了

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 150
#define uint unsigned int
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
//re
/*int gint()
{
    int ret=0,fh=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')fh=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){ret=ret*10+c-'0';c=getchar();}
    return ret*fh;
}*/
int n;
ll sum,ma;
ll a[N],mu[N],inv[N],minv[N];
ll qpow(ll x,ll y){
    ll ans=1;
    if(y){
        if(y&1) ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod,y>>=1;
    }return ans;
}
void Pre(){
    minv[0]=minv[1]=inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod,minv[i]=minv[i-1]*inv[i]%mod;
}
ll C(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    if(b>a) return 0;
    if(b==0) return 1;
    for(ll j=a-b+1;j<=a;j++)
        ans=j%mod*ans%mod;
    ans=ans*minv[b]%mod;
    return ans;
}
ll Lucas(ll a,ll b)
{
    if(b>a) return 0;
    if(a<mod&&b<mod) return C(a,b);
    else return Lucas(a%mod,b%mod)*Lucas(a/mod,b/mod)%mod;
}

int main()
{
    //freopen("t1.in","r",stdin);
    scanf("%d%I64d",&n,&ma);
    int tot=(1<<n)-1;
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%I64d",&a[i]);
    ll ans=0;
    Pre();
    for(int s=0;s<=tot;s++)
    {
        ll res=ma;int cnt=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(s&(1<<i)) res-=a[i]+1,cnt++; 
        if(res<0) continue;
        (ans+=1ll*(cnt&1?-1:1)*Lucas(res+n-1,n-1)%mod+mod)%=mod;
    }
    printf("%I64d
",ans);
    return 0;
}