常用十大算法（三）— 动态规划算法

常用十大算法（三）— 动态规划算法

博客说明

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介绍

动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )

动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解

背包问题

思路

背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)

这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。

算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。

(1)  v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0

(2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j]   // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略

(3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}  
// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,

代码实现

package com.guizimo;

public class KnapsackProblem {

	public static void main(String[] args) {
		int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
		int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价格
		int m = 4; //总重量
		int n = val.length; //价格的种类
		
		//创建二维数组
		//v[i][j] 表示在的i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
		int[][] v = new int[n+1][m+1];
		//辅助二维数组
		int[][] path = new int[n+1][m+1];
		
		//初始化第一行和第一列
		for(int i = 0; i < v.length; i++) {
			v[i][0] = 0;
		}
		for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
			v[0][i] = 0;
		}
		
		for(int i = 1; i < v.length; i++) { 
			for(int j = 1; j < v[0].length; j++) {
				if(w[i-1] > j) {
					v[i][j] = v[i-1][j];
				} else {
					if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
						v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
						path[i][j] = 1;
					} else {
						v[i][j] = v[i - 1][j];
					}
				}
			}
		}
		
		//价格表
		for(int i =0; i < v.length;i++) {
			for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
				System.out.print(v[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
		
		System.out.println("============================");

		int i = path.length - 1;
		int j = path[0].length - 1;
		while(i > 0 && j > 0 ) {
			if(path[i][j] == 1) {
				System.out.printf("第%d个商品放入背包
", i); 
				j -= w[i-1];
			}
			i--;
		}
	}

}

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