常用十大算法（六）— 普里姆算法

常用十大算法（六）— 普里姆算法

博客说明

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介绍

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图

最小生成树

• 最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。
• 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
• N个顶点，一定有N-1条边
• 包含全部顶点
• N-1条边都在图中
• 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

修路问题

• 有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通
• 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
• 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
• 思路: 将10条边，连接即可，但是总的里程数不是最小.
• 正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少.

思路

• 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
• 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
• 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1
• 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边

代码实现

package com.atguigu.prim;

import java.util.Arrays;

public class PrimAlgorithm {

	public static void main(String[] args) {
		char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
		int verxs = data.length;
		int [][]weight=new int[][]{
            {10000,5,7,10000,10000,10000,2},
            {5,10000,10000,9,10000,10000,3},
            {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
            {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
            {10000,10000,8,10000,10000,5,4},
            {10000,10000,10000,4,5,10000,6},
            {2,3,10000,10000,4,6,10000},};

        MGraph graph = new MGraph(verxs);
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
        minTree.showGraph(graph);
        minTree.prim(graph, 1);
	}

}

//最小生成树
class MinTree {
  //创建
	public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
		int i, j;
		for(i = 0; i < verxs; i++) {
			graph.data[i] = data[i];
			for(j = 0; j < verxs; j++) {
				graph.weight[i][j] = weight[i][j];
			}
		}
	}
	
	//显示
	public void showGraph(MGraph graph) {
		for(int[] link: graph.weight) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}
	
	//prim算法
	public void prim(MGraph graph, int v) {
		int visited[] = new int[graph.verxs];
    //标记已访问
		visited[v] = 1;
		int h1 = -1;
		int h2 = -1;
		int minWeight = 10000;
		for(int k = 1; k < graph.verxs; k++) {
			for(int i = 0; i < graph.verxs; i++) {
				for(int j = 0; j< graph.verxs;j++) {
					if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
						minWeight = graph.weight[i][j];
						h1 = i;
						h2 = j;
					}
				}
			}
			System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
			visited[h2] = 1;
			minWeight = 10000;
		}
	}
}

class MGraph {
	int verxs;
	char[] data;
	int[][] weight;
	
	public MGraph(int verxs) {
		this.verxs = verxs;
		data = new char[verxs];
		weight = new int[verxs][verxs];
	}
}

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