1.题目描述
给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。 请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。 你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。 示例 1: nums1 = [1, 3] nums2 = [2] 则中位数是 2.0 示例 2: nums1 = [1, 2] nums2 = [3, 4] 则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
2.问题解析
方法：递归法 为了解决这个问题，我们需要理解“中位数的作用是什么”。在统计中，中位数被用来： 将一个集合划分为两个长度相等的子集，其中一个子集中的元素总是大于另一个子集中的元素。 如果理解了中位数的划分作用，我们就很接近答案了。 首先，让我们在任一位置 ii 将 ext{A}A 划分成两个部分： left_A | right_A A[0], A[1], ..., A[i-1] | A[i], A[i+1], ..., A[m-1] 由于 ext{A}A 中有 mm 个元素， 所以我们有 m+1m+1 种划分的方法（i = 0 sim mi=0∼m）。 我们知道： ext{len}( ext{left\_A}) = i, ext{len}( ext{right\_A}) = m - ilen(left_A)=i,len(right_A)=m−i. 注意：当 i = 0i=0 时， ext{left\_A}left_A 为空集， 而当 i = mi=m 时, ext{right\_A}right_A 为空集。 采用同样的方式，我们在任一位置 jj 将 ext{B}B 划分成两个部分： left_B | right_B B[0], B[1], ..., B[j-1] | B[j], B[j+1], ..., B[n-1] 将 ext{left\_A}left_A 和 ext{left\_B}left_B 放入一个集合，并将 ext{right\_A}right_A 和 ext{right\_B}right_B 放入另一个集合。 再把这两个新的集合分别命名为 ext{left\_part}left_part 和 ext{right\_part}right_part： left_part | right_part A[0], A[1], ..., A[i-1] | A[i], A[i+1], ..., A[m-1] B[0], B[1], ..., B[j-1] | B[j], B[j+1], ..., B[n-1] 如果我们可以确认： ext{len}( ext{left\_part}) = ext{len}( ext{right\_part})len(left_part)=len(right_part) max( ext{left\_part}) leq min( ext{right\_part})max(left_part)≤min(right_part) 那么，我们已经将 { ext{A}, ext{B}}{A,B} 中的所有元素划分为相同长度的两个部分，且其中一部分中的元素总是大于另一部分中的元素。那么： ext{median} = frac{ ext{max}( ext{left}\_ ext{part}) + ext{min}( ext{right}\_ ext{part})}{2} median= 2 max(left_part)+min(right_part) 要确保这两个条件，我们只需要保证： i + j = m - i + n - ji+j=m−i+n−j（或：m - i + n - j + 1m−i+n−j+1） 如果 n geq mn≥m，只需要使 i = 0 sim m, j = frac{m + n + 1}{2} - i \i=0∼m,j= 2 m+n+1 −i ext{B}[j-1] leq ext{A}[i]B[j−1]≤A[i] 以及 ext{A}[i-1] leq ext{B}[j]A[i−1]≤B[j] ps.1 为了简化分析，我假设 ext{A}[i-1], ext{B}[j-1], ext{A}[i], ext{B}[j]A[i−1],B[j−1],A[i],B[j] 总是存在，哪怕出现 i=0i=0，i=mi=m，j=0j=0，或是 j=nj=n 这样的临界条件。 我将在最后讨论如何处理这些临界值。 ps.2 为什么 n geq mn≥m？由于0 leq i leq m0≤i≤m 且 j = frac{m + n + 1}{2} - ij= 2 m+n+1 −i，我必须确保 jj 不是负数。如果 n < mn<m，那么 jj 将可能是负数，而这会造成错误的答案。 所以，我们需要做的是： 在 [0，m][0，m] 中搜索并找到目标对象 ii，以使： qquad ext{B}[j-1] leq ext{A}[i] B[j−1]≤A[i] 且 ext{A}[i-1] leq ext{B}[j], A[i−1]≤B[j], 其中 j = frac{m + n + 1}{2} - ij= 2 m+n+1 −i 接着，我们可以按照以下步骤来进行二叉树搜索： 设 ext{imin} = 0imin=0， ext{imax} = mimax=m, 然后开始在 [ ext{imin}, ext{imax}][imin,imax] 中进行搜索。 令 i = frac{ ext{imin} + ext{imax}}{2}i= 2 imin+imax ， j = frac{m + n + 1}{2} - ij= 2 m+n+1 −i 现在我们有 ext{len}( ext{left}\_ ext{part})= ext{len}( ext{right}\_ ext{part})len(left_part)=len(right_part)。 而且我们只会遇到三种情况： ext{B}[j-1] leq ext{A}[i]B[j−1]≤A[i] 且 ext{A}[i-1] leq ext{B}[j]A[i−1]≤B[j]： 这意味着我们找到了目标对象 ii，所以可以停止搜索。 ext{B}[j-1] > ext{A}[i]B[j−1]>A[i]： 这意味着 ext{A}[i]A[i] 太小，我们必须调整 ii 以使 ext{B}[j-1] leq ext{A}[i]B[j−1]≤A[i]。 我们可以增大 ii 吗？ 是的，因为当 ii 被增大的时候，jj 就会被减小。 因此 ext{B}[j-1]B[j−1] 会减小，而 ext{A}[i]A[i] 会增大，那么 ext{B}[j-1] leq ext{A}[i]B[j−1]≤A[i] 就可能被满足。 我们可以减小 ii 吗？ 不行，因为当 ii 被减小的时候，jj 就会被增大。 因此 ext{B}[j-1]B[j−1] 会增大，而 ext{A}[i]A[i] 会减小，那么 ext{B}[j-1] leq ext{A}[i]B[j−1]≤A[i] 就可能不满足。 所以我们必须增大 ii。也就是说，我们必须将搜索范围调整为 [i+1, ext{imax}][i+1,imax]。 因此，设 ext{imin} = i+1imin=i+1，并转到步骤 2。 ext{A}[i-1] > ext{B}[j]A[i−1]>B[j]： 这意味着 ext{A}[i-1]A[i−1] 太大，我们必须减小 ii 以使 ext{A}[i-1]leq ext{B}[j]A[i−1]≤B[j]。 也就是说，我们必须将搜索范围调整为 [ ext{imin}, i-1][imin,i−1]。 因此，设 ext{imax} = i-1imax=i−1，并转到步骤 2。 当找到目标对象 ii 时，中位数为： max( ext{A}[i-1], ext{B}[j-1]), max(A[i−1],B[j−1]), 当 m + nm+n 为奇数时 frac{max( ext{A}[i-1], ext{B}[j-1]) + min( ext{A}[i], ext{B}[j])}{2}, 2 max(A[i−1],B[j−1])+min(A[i],B[j]) , 当 m + nm+n 为偶数时 现在，让我们来考虑这些临界值 i=0,i=m,j=0,j=ni=0,i=m,j=0,j=n，此时 ext{A}[i-1], ext{B}[j-1], ext{A}[i], ext{B}[j]A[i−1],B[j−1],A[i],B[j] 可能不存在。 其实这种情况比你想象的要容易得多。 我们需要做的是确保 ext{max}( ext{left}\_ ext{part}) leq ext{min}( ext{right}\_ ext{part})max(left_part)≤min(right_part)。 因此，如果 ii 和 jj 不是临界值（这意味着 ext{A}[i-1], ext{B}[j-1], ext{A}[i], ext{B}[j]A[i−1],B[j−1],A[i],B[j] 全部存在）, 那么我们必须同时检查 ext{B}[j-1] leq ext{A}[i]B[j−1]≤A[i] 以及 ext{A}[i-1] leq ext{B}[j]A[i−1]≤B[j] 是否成立。 但是如果 ext{A}[i-1], ext{B}[j-1], ext{A}[i], ext{B}[j]A[i−1],B[j−1],A[i],B[j] 中部分不存在，那么我们只需要检查这两个条件中的一个（或不需要检查）。 举个例子，如果 i = 0i=0，那么 ext{A}[i-1]A[i−1] 不存在，我们就不需要检查 ext{A}[i-1] leq ext{B}[j]A[i−1]≤B[j] 是否成立。 所以，我们需要做的是： 在 [0，m][0，m] 中搜索并找到目标对象 ii，以使： (j = 0(j=0 or i = mi=m or ext{B}[j-1] leq ext{A}[i])B[j−1]≤A[i]) 或是 (i = 0(i=0 or j = nj=n or ext{A}[i-1] leq ext{B}[j]),A[i−1]≤B[j]), 其中 j = frac{m + n + 1}{2} - ij= 2 m+n+1 −i 在循环搜索中，我们只会遇到三种情况： (j = 0(j=0 or i = mi=m or ext{B}[j-1] leq ext{A}[i])B[j−1]≤A[i]) 或是 (i = 0(i=0 or j = nj=n or ext{A}[i-1] leq ext{B}[j])A[i−1]≤B[j]) 这意味着 ii 是完美的，我们可以停止搜索。 j > 0j>0 and i < mi<m and ext{B}[j - 1] > ext{A}[i]B[j−1]>A[i] 这意味着 ii 太小，我们必须增大它。 i > 0i>0 and j < nj<n and ext{A}[i - 1] > ext{B}[j]A[i−1]>B[j] 这意味着 ii 太大，我们必须减小它。 感谢 @Quentin.chen 指出： i < m implies j > 0i<m⟹j>0 以及 i > 0 implies j < ni>0⟹j<n 始终成立，这是因为： m leq n, i < m implies j = frac{m+n+1}{2} - i > frac{m+n+1}{2} - m geq frac{2m+1}{2} - m geq 0m≤n,i<m⟹j= 2 m+n+1 −i> 2 m+n+1 −m≥ 2 2m+1 −m≥0 m leq n, i > 0 implies j = frac{m+n+1}{2} - i < frac{m+n+1}{2} leq frac{2n+1}{2} leq nm≤n,i>0⟹j= 2 m+n+1 −i< 2 m+n+1 ≤ 2 2n+1 ≤n 所以，在情况 2 和 3中，我们不需要检查 j > 0j>0 或是 j < nj<n 是否成立。
3. 代码实现
class Solution: def findMedianSortedArrays(self, list1: List[int], list2: List[int]) -> float: m, n = len(list1), len(list2) #判断m, n的大小，保证m<n if m > n : m, n, list1, list2 = n, m, list2, list1 if n == 0 : return ValueError #确定搜索边界，及最大值，最小值，以及中位值索引 i_min, i_max, half_len, flag = 0, m, (m+n+1)//2, (m+n)%2 while i_min <= i_max : i = (i_min+i_max)//2 j = half_len - i if i < m and list1[i] < list2[j-1] : i_min = i + 1 elif i > 0 and list1[i-1] > list2[j] : i_max = i - 1 else : if i == 0 : max_left = list2[j-1] elif j == 0 : max_left = list1[i-1] else : max_left = max(list1[i-1],list2[j-1]) if flag == 1: return max_left if i == m : min_right = list2[j] elif j == n : min_right = list1[i] else : min_right = min(list1[i], list2[j]) return (max_left + min_right)/2