拉格朗日插值学习笔记
给出(n-1)次函数(f(x))经过的(n)个点((x_i,y_i))，要你求出(f_k)。
根据拉格朗日插值法：
[f(k)=sum_{i=1}^n y_iprod_{i
eq j} dfrac{k-x_j}{x_i-x_j}
]
举个例子：设一个二次函数经过了(3)个点({(1,2),(3,3),(4,2)})。
我们可以求出这个二次函数的解析式为：
[f(x)=-0.5x^2+2.5x
]
将(f(k))展开：
[f(k)=2 imesdfrac{(k-3)(k-4)}{(1-3)(1-4)}+3 imesdfrac{(k-1)(k-4)}{(3-1)(3-4)}+2 imesdfrac{(k-1)(k-3)}{(4-1)(4-3)}
]
我们试着将(4)代入：
[f(k)=2 imes0+3 imes0+2 imesdfrac{3}{3} =2
]
正是 2！
显然，我们在这里构造了一个“开关组”。
我们试着将(5)代入：
[f(k)=2 imesdfrac{2}{6}-3 imesdfrac{4}{2}+2 imesdfrac{8}{3}=0
]
理解：我们把
[ f(k)=sum_{i=0}^b y_iprod_{i
eq j} dfrac{k-x_j}{x_i-x_j}
]
写成
[ f(k)=y1 imes f1(x) + y2 imes f2(x)+ ...
]
每一个(f(x))可以看成一个小于(n)次的元，又因为这样的(y1)是唯一的，所以我们可以沿用求出k。