RSA算法和习题分析。

RSA算法概述如下：
找两素数p和q
取n=p*q
取t=(p-1)*(q-1)
取任何一个数e,要求满足e<t并且e与t互素（就是最大公因数为1）
取d*e%t==1

这样最终得到三个数： n  d  e

设消息为数M (M <n)
设c=(M**d)%n就得到了加密后的消息c
设m=(c**e)%n则 m == M，从而完成对c的解密。
注：**表示次方,上面两式中的d和e可以互换。

在对称加密中：
n d两个数构成公钥，可以告诉别人；
n e两个数构成私钥，e自己保留，不让任何人知道。
给别人发送的信息使用e加密，只要别人能用d解开就证明信息是由你发送的，构成了签名机制。
别人给你发送信息时使用d加密，这样只有拥有e的你能够对其解密。

rsa的安全性在于对于一个大数n，没有有效的方法能够将其分解
从而在已知n d的情况下无法获得e；同样在已知n e的情况下无法
求得d。

〈二>实践

接下来我们来一个实践，看看实际的操作：
找两个素数：
p=47
q=59
这样
n=p*q=2773
t=(p-1)*(q-1)=2668
取e=63，满足e<t并且e和t互素
用perl简单穷举可以获得满主 e*d%t ==1的数d：
C:\Temp>perl -e "foreach $i (1..9999){ print($i),last if $i*63%2668==1 }"
847
即d＝847

最终我们获得关键的
n=2773
d=847
e=63

取消息M=244我们看看

加密：

c=M**d%n = 244**847%2773
用perl的大数计算来算一下：
C:\Temp>perl -Mbigint -e "print 244**847%2773"
465
即用d对M加密后获得加密信息c＝465

解密：

我们可以用e来对加密后的c进行解密，还原M：
m=c**e%n=465**63%2773 ：
C:\Temp>perl -Mbigint -e "print 465**63%2773"
244
即用e对c解密后获得m=244 , 该值和原始信息M相等。

欧几里得算法 (仅做参考)
求两个正整数的最大公因数(GCD),个人感觉很奇妙

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

 证明：设正整数a = kb + r，则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数  假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 d | b , d |r ，而a = kb +r  因此d也是(a,b)的公约数  因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

#include <stdio.h>

/**//* START: fig2_10.txt */
        unsigned int
        Gcd( unsigned int M, unsigned int N )
        {
            unsigned int Rem;

/**//* 1*/      while( N > 0 )
            {
/**//* 2*/          Rem = M % N;
/**//* 3*/          M = N;
/**//* 4*/          N = Rem;
            }
/**//* 5*/      return M;
        }
/**//* END */

main( )
{
    printf( "Gcd( 45, 35 ) = %d\n", Gcd( 45, 35 ) );
    printf( "Gcd( 1989, 1590 ) = %d\n", Gcd( 1989, 1590 ) );
    return 0;
}



扩展欧几里得算法- -
                                       

因为要用这个算法来计算逆元，所以写一下
扩展欧几里得算法：

欧几里得算法中，计算 x, y 的最大公约数的方法是辗转相除，例如：

gcd (26, 15)

26 % 15 = 1  11
15 % 11 = 1  4
11 % 4 = 2  3
4 % 3 = 1  1
3 % 1 = 3  0 

可知，gcd (26, 15) = 1

如果 gcd(x, y) = r，那么有 ax + by = r，可以看出，上面的步骤实际上是可以直接得出 a, b 的：
null
26 % 15 = 1  11 => 11 = 26 - 15 1 1 -1
15 % 11 = 1  4 => 4 = 15 - 11 = 15 - (26 - 15) = -26 + 2*15 1 -1 2
11 % 4 = 2  3 => 3 = 11 - 4*2 = (26 - 15) - (-26 + 15) * 2 = 3*26 - 5*15 2 3 -5
4 % 3 = 1  1 => 1 = 4 - 3 = (-26 + 2*15) - (3*26 - 5*15) = -4*26 + 7*15 1 -4 7
3 % 1 = 3  0 

在每一轮，我们都可以得到一个模的表达式为：ri = aix + biy
如果不考虑第一轮和第二轮，那么ai 和 bi 可以表示为(qi 为每一轮得到的商)：

ai = ai-2 - qi * ai-1
bi = bi-2 - qi * bi-1

现在来考虑第一轮和第二轮，按照上面的公式，可以认为

a-1 = 1, b-1 = 0
a0 = 0, b0 = 1

有了这两对预设值，上面的两个公式就成立了

求逆元，由上面可以看出，gcd(x, y) = 1 的时候
如果 ax + by = 1，那么 ax = -by + 1 => ax = 1 (mod b)
这时候，a 即是 x 的逆元


1 #include 
2
3  int gcd (int x, int y, int *a1, int *a2, int *b1, int *b2)
4  {
5    int q, r, a, b;
6
7    q = x / y;
8    r = x % y;
9
10    a = *a2 - q*(*a1);
11    b = *b2 - q*(*b1);
12
13    if (0 == r)
14      {
15        return y;
16      }
17
18    *a2 = *a1;
19    *b2 = *b1;
20
21    *a1 = a;
22    *b1 = b;
23
24    return gcd (y, r, a1, a2, b1, b2);
25  }
26
27  int main (int argc, char *argv[])
28  {
29    int x, y, a1, a2, b1, b2, r;
30
31    x = atoi (argv[1]);
32    y = atoi (argv[2]);
33
34    a1 = 0;
35    a2 = 1;
36    b1 = 1;
37    b2 = 0;
38
39    r = gcd (x, y, &a1, &a2, &b1, &b2);
40
41    printf ("%d = (%d) * (%d) + (%d) * (%d)\n",
42            r, a1, x, b1, y);
43
44    return 0;
45  }

欧几里得算法关于习题解使用到的。
习题
(1)
p=43,q=59,r=p*q=43*59=2537, (p-1)*(q-1)=2436,取e=13,求e的逆元d.
解方程 d*e=1 mod 2436

2436=13`*187.....5`
13`=5`*2....3`
5`=3`*1....2`
3`=2`*1....1`

1`=3`-2`   (1)
2`=5`-3`   (2)
3`=13`-5`*2 (3)
5`=2436-13`*18 (4)
1`=3-2=(2)=>1=3-(5-3)=2*3-5=(3)=>2*(13-5*2)-5=2*13-5*5=(4)=>2*13-5*(2436-13*187)=937*13-5*2436
得
937*13=1 mod 2436
取e=13时d=973
(2)
p=11,q=13,r=p*q=11*13=143, (p-1)*(q-1)=120,取e=7,求e的逆元d.
解方程 d*e=1 mod 120
120=17*7....1

1=120-7*17=120 -7*17 mod 120 =120 -(-120+17) *7mod 120=120+103*7 mod 120
103*7=1 mod 120
取e=7时d=103
终于搞定。

参考资料
http://www.xfocus.net/articles/200503/778.html
http://shmilyhsp.blogchina.com/3071401.html