OTSU算法学习 OTSU公式证明

OTSU算法学习   OTSU公式证明

 

1 otsu的公式如下,如果当前阈值为t,

      w0 前景点所占比例

      w1 = 1- w0 背景点所占比例

      u0 = 前景灰度均值

      u1 = 背景灰度均值

      u = w0*u0 + w1*u1  全局灰度均值

      g = w0(u0-u)*(u0-u) + w1(u1-u)*(u1-u) = w0*(1 – w0)*(u0 - u1)* (u0 - u1)

      目标函数为g, g越大,t就是越好的阈值.为什么采用这个函数作为判别依据,直观是这个函数反映了前景和背景的差值.

差值越大,阈值越好.

下面是一段证明g的推导的matlab代码

syms w0 u0 u1 %w0 前景均值  u0 前景灰度均值 u1 背景灰度均值

%背景均值

w1 =1- w0;

%全局灰度均值

u=w0*u0+w1*u1;

%目标函数

g=w0*(u0-u)*(u0-u)+w1*(u1-u)*(u1-u);

%化简的形式

g1 =w0*w1*(u0-u1)*(u0-u1);

%因式展开

a1 = expand(g)%结果是 - u0^2*w0^2 + u0^2*w0 + 2*u0*u1*w0^2 - 2*u0*u1*w0 - u1^2*w0^2 + u1^2*w0

a2 = expand(g)%结果是 - u0^2*w0^2 + u0^2*w0 + 2*u0*u1*w0^2 - 2*u0*u1*w0 - u1^2*w0^2 + u1^2*w0

%对g进行因式分解

a2 = factor(g)%结果 -w0*(u0 - u1)^2*(w0 - 1)

 

这里是matlab初等代数运算的讲解  http://wenku.baidu.com/link?url=SODqdtPjbNLhKPEvCjsHkOhMi9LMb34qIrnp9_QRBKUNqPLGLxRCuLJgL2sp1vhLk55b6hpp242-RTCVp6ma_7a7-0imT3WVyBcsTmQ-5HS

 

2 关于最大类间方差法（otsu）的性能:

 

类间方差法对噪音和目标大小十分敏感，它仅对类间方差为单峰的图像产生较好的分割效果。

当目标与背景的大小比例悬殊时，类间方差准则函数可能呈现双峰或多峰，此时效果不好，但是类间方差法是用时最少的。

 

3 代码实现

public int GetThreshValue(Bitmap image)

{

    BitmapData bd = image.LockBits(new Rectangle(0,0, image.Width, image.Height), ImageLockMode.WriteOnly, image.PixelFormat);

    byte* pt =(byte*)bd.Scan0;

    int[] pixelNum = new int[256];//图象直方图，共256个点

    byte color;

    byte* pline;

    int n, n1, n2;

    int total;//total为总和，累计值

    double m1, m2, sum, csum, fmax, sb;//sb为类间方差，fmax存储最大方差值

    int k, t, q;

    int threshValue =1;// 阈值

    int step =1;

    switch(image.PixelFormat)

    {

    case PixelFormat.Format24bppRgb:

        step =3;

        break;

    case PixelFormat.Format32bppArgb:

        step =4;

        break;

    case PixelFormat.Format8bppIndexed:

        step =1;

        break;

    }

    //生成直方图

    for(int i =0; i < image.Height; i++)

    {

        pline = pt + i * bd.Stride;

        for(int j =0; j < image.Width; j++)

        {

            color =*(pline + j * step);//返回各个点的颜色，以RGB表示

            pixelNum[color]++;//相应的直方图加1

        }

    }

    //直方图平滑化

    for(k =0; k <=255; k++)

    {

        total =0;

        for(t =-2; t <=2; t++)//与附近2个灰度做平滑化，t值应取较小的值

        {

            q = k + t;

            if(q <0)//越界处理

                q =0;

            if(q >255)

                q =255;

            total = total + pixelNum[q];//total为总和，累计值

        }

        //平滑化，左边2个+中间1个+右边2个灰度，共5个，所以总和除以5，后面加0.5是用修正值

        pixelNum[k]=(int)((float)total /5.0+0.5);

    }

    //求阈值

    sum = csum =0.0;

    n =0;

    //计算总的图象的点数和质量矩，为后面的计算做准备

    for(k =0; k <=255; k++)

    {

        //x*f(x)质量矩，也就是每个灰度的值乘以其点数（归一化后为概率），sum为其总和

        sum +=(double)k *(double)pixelNum[k];

        n += pixelNum[k];//n为图象总的点数，归一化后就是累积概率

    }

    fmax =-1.0;//类间方差sb不可能为负，所以fmax初始值为-1不影响计算的进行

    n1 =0;

    for(k =0; k <255; k++)//对每个灰度（从0到255）计算一次分割后的类间方差sb

    {

        n1 += pixelNum[k];//n1为在当前阈值遍前景图象的点数

        if(n1 ==0){continue;}//没有分出前景后景

        n2 = n - n1;//n2为背景图象的点数

        //n2为0表示全部都是后景图象，与n1=0情况类似，之后的遍历不可能使前景点数增加，所以此时可以退出循环

        if(n2 ==0){break;}

        csum +=(double)k * pixelNum[k];//前景的“灰度的值*其点数”的总和

        m1 = csum / n1;//m1为前景的平均灰度

        m2 =(sum - csum)/ n2;//m2为背景的平均灰度

        sb =(double)n1 *(double)n2 *(m1 - m2)*(m1 - m2);//sb为类间方差

        if(sb > fmax)//如果算出的类间方差大于前一次算出的类间方差

        {

            fmax = sb;//fmax始终为最大类间方差（otsu）

            threshValue = k;//取最大类间方差时对应的灰度的k就是最佳阈值

        }

    }

    image.UnlockBits(bd);

    image.Dispose();

    return threshValue;

}

 

 

参考了这篇文章 http://baike.baidu.com/link?url=ZgwdvFvH-oZhpE3panvp9kv0p7dn7KSnpc87v-AIBg5najnR4cVmIXwP_A_4nry7USDUZUuEYa-c5P09XOYoIa

 

4 二维otsu算法

下图是二维otsu的立体图,是对右边的A进行二维直方图统计得到的图像, 遍历区域为5*5.

 

 

                      

这是对应的matlab代码

%统计二维直方图  i 当前点的亮度 j n*n邻域均值亮度

function hist2 = hist2Function(image, n)

 

%初始化255*2565矩阵

hist2 = zeros(255,255);

 

[height, width]= size(image);

 

for i =1:height

    for j =1:width

        data = image(i,j);

           

        tempSum =0.0;

        for l =-n:1:n

            for m =-n:1:n

                 x = i + l;

                 y = j+m;

               

                if x <1

                    x =1;

                elseif x > width

                    x = width;

                end

               

                if y <1

                    y =1;

                elseif y > height

                    y = height;

                end

                tempSum = tempSum + double(image(y,x));

            end

        end

       

        tempSum = tempSum /((2*n+1)*(2*n+1));

       

        hist2(data,floor(tempSum))= hist2(data,floor(tempSum))+1;

    end

end

 

%加载图像

imagea = imread('a.bmp');

%显示图像

%imshow(imagea);

%显示直方图

%figure;imhist(imagea);

%计算二维直方图

hist2 = hist2Function(imagea,2);

%显示二维直方图

[x,y]=meshgrid(1:1:255);

mesh(x,y,hist2)

 

 

<灰度图象的二维Otsu自动阈值分割法.pdf> 这篇文章讲解的不错.文章这里有下载http://download.csdn.net/detail/wisdomfriend/9046341

下面用数学语言表达一下

i :表示亮度的维度

j : 表示点区域均值的维度

w0: 表示在阈值(s,t)时   所占的比例

w1: 表示在阈值(s,t)时,  所占的比例

u0(u0i, u0j): 表示在阈值(s,t)时时  的均值.u0时2维的

u1(u1i, u1j): 表示在阈值(s,t)时的均值.u1时2维的

uT: 全局均值

和一维otsut函数类似的目标函数

 

sb = w0(u0-uT)*(u0-uT)’ + w1(u1-uT)*(u1-uT)’

   = w0[(u0i-uTi)* (u0i-uTi) + (u0j-uTj)* (u0j-uTj)] + w1[(u1i-uTi)* (u1i-uTi) + (u1j-uTj)* (u1j-uTj)]

 

这里是代码实现.出自这篇文章:http://blog.csdn.net/yao_wust/article/details/23531031

 

int histogram[256][256];

double p_histogram[256][256];

double Pst_0[256][256];//Pst_0用来存储概率分布情况

double Xst_0[256][256];//存储x方向上的均值矢量

int OTSU2d(IplImage * src)

{

    int height = src->height;

    int width = src->width;

    long pixel = height * width;

   

    int i,j;

 

    for(i =0;i <256;i++)//初始化直方图

    {

        for(j =0; j <256;j++)

            histogram[i][j]=0;

    }

 

    IplImage * temp = cvCreateImage(cvGetSize(src),8,1);

    cvSmooth(src,temp,CV_BLUR,3,0);

   

    for(i =0;i < height;i++)//计算直方图

    {

        for(j =0; j < width;j++)

        {

            int data1 = cvGetReal2D(src,i,j);

            int data2 = cvGetReal2D(temp,i,j);

            histogram[data1][data2]++;

        }

    }

 

    for(i =0; i <256;i++)//直方图归一化

        for(j =0; j <256;j++)

            p_histogram[i][j]=(histogram[i][j]*1.0)/(pixel*1.0);

 

    Pst_0[0][0]= p_histogram[0][0];

    for(i =0;i <256;i++)//计算概率分布情况

        for(j =0;j <256;j++)

        {

           double temp =0.0;

           if(i-1>=0)

               temp = temp + Pst_0[i-1][j];

           if(j-1>=0)

               temp = temp + Pst_0[i][j-1];

           if(i-1>=0&& j-1>=0)

               temp = temp - Pst_0[i-1][j-1];

           temp = temp + p_histogram[i][j];

           Pst_0[i][j]= temp;

        }

       

   

    Xst_0[0][0]=0* Pst_0[0][0];

    for(i =0; i <256;i++)//计算x方向上的均值矢量

        for(j =0; j <256;j++)

        {

           double temp =0.0;

           if(i-1>=0)

               temp = temp + Xst_0[i-1][j];

           if(j-1>=0)

               temp = temp + Xst_0[i][j-1];

           if(i-1>=0&& j-1>=0)

               temp = temp - Xst_0[i-1][j-1];

           temp = temp + i * p_histogram[i][j];

           Xst_0[i][j]= temp;

        }

 

    double Yst_0[256][256];//存储y方向上的均值矢量

    Yst_0[0][0]=0* Pst_0[0][0];

    for(i =0; i <256;i++)//计算y方向上的均值矢量

        for(j =0; j <256;j++)

        {

           double temp =0.0;

           if(i-1>=0)

               temp = temp + Yst_0[i-1][j];

           if(j-1>=0)

               temp = temp + Yst_0[i][j-1];

           if(i-1>=0&& j-1>=0)

               temp = temp - Yst_0[i-1][j-1];

           temp = temp + j * p_histogram[i][j];

           Yst_0[i][j]= temp;

        }

    

    int threshold1;

    int threshold2;

    double variance =0.0;

    double maxvariance =0.0;

    for(i =0;i <256;i++)//计算类间离散测度

        for(j =0;j <256;j++)

        {

             longdouble p0 = Pst_0[i][j];

             longdouble v0 = pow(((Xst_0[i][j]/p0)-Xst_0[255][255]),2)+ pow(((Yst_0[i][j]/p0)-Yst_0[255][255]),2);

             longdouble p1 = Pst_0[255][255]-Pst_0[255][j]-Pst_0[i][255]+Pst_0[i][j];

             longdouble vi = Xst_0[255][255]-Xst_0[255][j]-Xst_0[i][255]+Xst_0[i][j];

             longdouble vj = Yst_0[255][255]-Yst_0[255][j]-Yst_0[i][255]+Yst_0[i][j];

             longdouble v1 = pow(((vi/p1)-Xst_0[255][255]),2)+pow(((vj/p1)-Yst_0[255][255]),2);

           

             variance = p0*v0+p1*v1;

          

           if(variance > maxvariance)

           {

              maxvariance = variance;

              threshold1 = i;

              threshold2 = j;

           }

        }

 

    //printf("%d  %d",threshold1,threshold2);

 

    return(threshold1+threshold2)/2;

 

}

 

 

总结: 二维otsu算法得到一个阈值,然后对图像做二值化.仍然不能解决光照不均匀二值化的问题.比一维otsu效果好一些,但不是很明显.这个算法的亮点在于考虑的点的附近区域的均值.