因式分解·新方法

1. 分解方法的拓展（一）
   1. 知识纵横
      1. 因式分解是针对多项式的一种恒等变换，提公因式法、公式法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法。
      2. 一些复杂的因式分解问题，常用到换元法和主元法。
      3. 所谓换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看做一个整体，用新字母替代（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式系数。降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
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      1. 分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有

         1. 按字母分组

         2. 按次数分组

         3. 按系数分组

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      1. 为了能够迅速解决一些与代数式恒等变换相关的问题，读者应熟悉如下多项式分解因式后的结果

         1. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

         2. $a^3-b^3(a-b)(a^2+ab+b^2)$

         3. $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

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      1. 从换元的形式看，有常值代换、式的代换；

      2. 从引元的个数看，有一元代换、二元代换等。

      3. 换元的思想是简化式子的表达形式，在代数式的化简求值、因式分解、解方程等方面有广泛的应用。

      4. 用换元法解题时，需认真观察，恰当变形，发现数式的结构特点

   5. 新方法——主元法

      1. 所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化间题的结构

      2. 选择次数低的字母为主元，是确定主元的基本方法，也是运用主元法解题的关键

2. 分解方法的延拓（二）
   1. 知识纵横
      1. 在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法
      2. 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式
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      1. 拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差
      2. 添项即把代数式添上两个符号相反的项通过拆添项，多项式增加了项数，从而可以用分组分解法分解
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      1. 配方法与待定系数法是数学中重要的思想方法，不仅仅拘泥于分解因式，在后续的学习中如解高次方程、确定函数解析式、挖掘隐含条件、讨论最值问题等方面也有广泛的应用
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      1. 寻找解题途径，是一个创造性的积极思维过程，解题时，应当想什么?怎样想?

         1. 回想：在审题的基础上，根据问题的条件成结论，回想与问题相关的概念、公式定理、法则，能否直接运用?问题的常用解法是什么?等等

         2. 联想：从一个数学问题想到另一个数学问题的心理活动，寻找一个熟悉的相似的问题，或找出与题目接近的原理方法，变通使用这些知识，寻找突破口

         3. 猜想：对事物变化方向的一种“试探”性判断

   5. 新方法——待定系数法

      1. 对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是

         1. 根据多项式次数关系，假设一个舍待定系数的等式；

         2. 利用恒等式对应项系数相等的性质，列出舍有待定系数的方程组；

         3. 解方程组，求出传定系数，再代入所设问题的结构中去，得到需求问题的解

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      1. 待定系数法是解形如$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f(a，b，c，d，e，f为常数，a，b，c不同时为零)$的二元二次多项式的有效方法，常见的应用途径是

         1. 若$ax^2+bxy+cy^2=(a_1x+c_1y)(a_2x+c_2y)$，则可设原式$=(a_1x+c_y+m)(a_2x+c_2y+n)$，其中m，n是待定系数

         2. 若a，b，c中至少有一个本身就是待定系数，则可从$ax^2+dx+f$(或$cy^2+ey+f$)入手即若$ax^2+dx+f=(a_1x+f_1)(a_2x+f_2)$，则可设原式$=(a_1 x+my+f_1)(a_2x+ny+f_2)$，其中m，n是待定系数

   7. 新方法——配方

      1. 选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方

         1. 选取二次项和一次项配方:$x^2-4x+2=(x-2)^2-2$；

         2. 选取二次项和常数项配方:$x^2-4x+2=(x-sqrt 2 )^2+(2sqrt 2-4)x，或x^2-4x+2=(x+sqrt 2)^2-(4+2sqrt 2)x$；

         3. 选取一次项和常数项配方:$x^2-4x+2=(sqrt 2x-sqrt 2)^2-x^2$

         4. 根据上述材料，解决下面的问题 

            (1)写出$x^2-8x+4$的两种不同形式的配方；

            (2)已知$x^2+y^2+xy-3y+3=0$，求$x^y$的值

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      1. 一元高次多项式分解因式有下列两种常用方法

         1. 拆添项法;

         2. 待定系数法

         3. 拆添项是一项技巧性很强的工作,只有认真观察多项式的结构特征和数量关系,才能正确地对多项式进行拆添项,待定系数法虽具有一般性,但是操作过程较繁琐,因此需具体问题具体分析,灵活选用方法分解

3. 因式分解的应用
   1. 知识纵横

      1. 在一定的条件下,把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形,是研究代数式、方程和函数的基础

      2. 因式分解是代数变形的重要工具,在后续的学习中,因式分解是学习分式、一元次方程等知识的基础.

      3. 现阶段,因式分解在数值计算、代数式的化简求值、不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用;

      4. 同时,通过因式分解的训练和应用能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高.因此,有人说因式分解是学好代数的基础之一

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      1. 因式后的结果在解题中经常用到,我们应熟悉以下的常用结果

         1. $ab±b±a+1=(a±1)(b±1)$

         2. $ab±a$$b=(a$$1)(b±1)$

         3. $a^4+4=(a^2+2a+2)(a^2-2a+2)$

         4. $4a^4+1=(2a^2+2a+1)(2a^2-2a+1)$

         5. $a^2+b^2+c^2+ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2$

         6. $a^2+b^2+c^2-abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

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      1. 代数式求值的用方法是

         1. 代入字母的值求值

         2. 通过变形,寻找字母间的关系,代入关系求值

         3. 整体代入求值

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      1. 解题思路的获得,一般要经历三个步骤

         1. 从理解题意中提取有用的信息,如数式特点、图形结构特等

         2. 从记忆储存中提取相关的信息,如有关公式、定理、基本模式等

         3. 将上述两组信息进行有效重组,使之成为一个合乎逐样的和谐结构

   5. 新方法——当$a+b+c=0$

      1. 从条件$a+b+c=0$出发,运用乘法公式、因式分解可推得如下应用广泛结论:

         1. 若$a+b+c=0$,则$a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ac)$

         2. 若$a+b+c=0$,且$abc eq0$,则$frac{1}{a^2}+frac{1}{b^2}+frac{1}{c^2}=(frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c})^2$

         3. 若$a+b+c=0$,又$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2- ab-bc-ac)$则$a^3+b^3+c^3=3abc$

   6. 链接

      1. 不定方程(组)的基本解法有

         1. 枚举法

         2. 配方法

         3. 因数分解、因式分解法

         4. 分离系数法

      2. 运用这些方法解不定方程时,都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识