分式·新方法

1. 分式的概念、性质及运算
   1. 知识纵横

      1. 分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容。

      2.  从整式到分式,我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”在脚手架上活动,无疑增加了难点,体现在:解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的,因此必须考虑字母取值范围;分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作,需要灵活处理

      3. 分式的运算与分数的运算相似,是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础,是以整式的变形、因式分解为工具,分式的加减运算是分式运算的难点,突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分,常用通分的策略与技巧有:化整为零,分组通分;步步为营,分步通分;减轻负担,先约分再通分;裂项相消后通分等

   2. 链接

      1. 整体与局部是一对矛盾,又可相互转化,当一个数学回题不能或不便于从整体上加以解决时,我们常从局部入手将原题分解,这就是解题的分解策略.解绝对值问题时用的分段、分类讨论,因式分解的分组分解法,分式运算中的分步分组通分等,是分解策略的具体运用

   3. 链接

      1. 从条件$a+b+c=0$出发,可导出以下重要结论

         1. 构造相反数得:$a+b=-c$

         2. 移项平方得:$a^2+b^2-c^2=-2ab$

         3. $a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)$

         4. $frac{1}{a^2}+frac{1}{b^2}+frac{1}{b^2}=(frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c})^2y$

         5. $a^3+b^3+c^3=3abc$

   4. 链接
      1. 把一个分式写成几个分式的和的形式，是分式加减的逆运算，解决这类问题常用到待定系数法
   5. 链接
      1. 类似于分数，当一个分式的分式分次数，那么就可以将分式化为整式部分与分事不分的和，分式的这种变形称为拆分变形，是拆项变换的一种
      2. 分离常数时可以使用大除法
   6. 新方法——构造方程
      1. 构造分式，即把有些整式问题转化诶分式形式，在分式意义下进行运算，从而使物体变得简单或能巧解，常见的转化途径有恰当取倒数、运用等式性质、字母化等等
   7. 新方法——一般化与特殊化

      1. 与特殊是对立统一的矛盾关系,二者相互依存、相互转化,从特殊到一般和从一般到特殊是人类认识世界的一般规律

      2. 拿到一道数学题,该怎样入手?当代著名美国数学家波利亚说过:“我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过程本身,它们是获得发现的伟大源泉.”

      3. 为了思维的灵活性,为了更深入本质地认识问题,解题思路的探寻与解后反思常经历下面两个途径

         1. 清晰地展示问题的特殊性

         2. 深刻地星现问题的一般性

      4. 求证;对任意两两不等的三个数$a,b,c$,都有$frac{(a+b-c)^2}{(a-c)(b-c)}+frac{(b+c-a)^2}{(b-a)(c-a)}+frac{(c+a-b)^2}{(c-b)(a-b)}$是常数

2. 有条件的分式的化简与求值
   1. 知识纵横

      1. 给出一定的条件,在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值.而分式的化简与求值是紧密相连的,求值之前必须先化简,化简的目的是为了求值,先化简后求值是解有条件的分式化简与求值的基本策略

      2. 解有条件的分式化简与求值问题时,既要瞄准目标,又要抓住条件;既要根据目标变换条件,又要依据条件来调整日标,除了要用到整式化简求值的知识方法外,还常常用到如下技巧:恰当引入参数;取倒数或利用倒数关系;拆项变形或拆分变形;整体代入;利用比例性质等

   2. 链接

      1. 在解某些含多个字母的代数问题时,如果已知与未知之间的联系不明显,为了沟通已知与未知之间的联系,则可考虑引入一个参数,参数的引入,可起到沟通变元、消元的作用

   3. 链接

      1. 若$x^2-px+1=0$(p为不为零的常数),则

         1. $x^2+1=px,x^2-px=-1$

         2. $x+frac{1}{x}$进而可求出$x^2+frac{1}{x^2}$、$x^3+frac{1}{x^3}$等代数式的值

   4. 链接

      1. 代数式的值在直接求解、求证原问题难以入手时,把原问题作适当的变换,如换一种说法、换一种形式,构造一个或几个比原问题简单成热悉,易于求解的新问题,通过对新问题的研究,发現原问题的解题思路,这就是数学解题中的转换思想

   5. 新方法——差异分析

      1. 通过寻找目标差，不断缩小目标差而实现解题的思考方法，称为差异分析法。

      2. 从何处入手?向哪里迈进?这是差异分析法解决问题的两个基本切入点,

      3. 目标意识、减少差异、消除差异,成功实现代数恒等变形中的有序推理

   6. 链接

      1. 解数学题是运用已知条件去挥求未知结论的一个过程,如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提,对已知条件的运用有下列途径:

         1. 直接运用条件;

         2. 变形运用条件;

         3. 综合运用条件;

         4. 挖抵隐含条件

   7. 新方法——增根

      1. 解分式方程时，纪要舍去增根，又要善于利用增根，确定方程中的参数值或取值范围

         1. 已知关于$x$的分式方程$frac{x+k}{x+1}-frac{k}{x-1}=1$的解为负数,求$k$的取值范围

         2. 当$a$为何值时,关于$x$的分式方程$frac{1}{x-1}-frac{a}{2-x}=frac{2(a+1)}{x^2-3x+2}$总无解?