三角形的重心

1. 重心的概念

   1. 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的内部
      
      如图，G为$△ABC$的重心
   2. 永远存在
      1. 证明：如图，已知CF、BE为中线，求证：AD为中线
      
      1. 过B作BH//CF，则G为AH中点
      2. 又因为E为中点，所以EG为$△ACH$的中位线，则EG//CH
      3. 所以四边形CGBH为平行四边形，则由平行四边形对角线互相平分得BD=CD

2. 重心的性质

   1. 基本性质
      1. 三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍，即$displaystyle frac{AG}{GD}=frac{BG}{GE}=frac{CG}{GF}=2$
      2. 证明1
         1. 由共边定理得
            
         2. 由蝴蝶定理得
            
         3. 于是有
            
         4. 由共边定理得$displaystyle frac{AG}{DG}=frac{ riangle ACG}{ riangle CDG}=2$
         5. 同理可推得其他边的关系
      3. 证明2
         1. 连接$DE$，由中位线得平行，得八字模型，由相似和中位线$frac{1}{2}$得$2$倍
            
   2. 推论1
      1. 设$G$是$ riangle ABC$中一点，若$displaystyle S_{ riangle ABG}=S_{ riangle ABC}=frac{1}{3}S_{ riangle ABC}$，则$G$为$ riangle ABC$的重心
         1. 证明
            1. 由共边定理（燕尾模型）得$displaystyle frac{BD}{CD}=frac{S_{ riangle ABG}}{S_{ riangle ACG}}=1$，即$G$为$ riangle ABC$中点
            2. 同理可证其他中点
   3. 推论2
      1. $G$为$ riangle ABC$的重心，若$AG^2+BG^2=CG^2$，则$AD ⊥ BE$
         
         1. 证明
            
            1. 倍长中线，得平行且$MG=CG，AG=BM$，所以$displaystyle angle MBG = 90^{circ}$
      2. $G$为$ riangle ABCD$的重心，若$AD ⊥ BE$，则$AG^2+BG^2=CG^2$
         
         
         1. 证明
            1. 由垂直得勾股关系，又由直角三角形斜边中线定理得$AB=CG$，即可得证
   4. 推论3
      1. $G$为$ riangle ABC$中点，过$G$作$DE //BC$，$PF//AC$，$KH//AB$，则$displaystyle frac{DE}{BC}=frac{FP}{CA}=frac{KH}{AB}=frac{2}{3}$
         
         1. 证明
            
            1. 连AG并延长至M交BC于M，则M为BC中点
            2. 由$DG//CB$得$displaystyle frac{AD}{AB}=frac{AG}{AM}=frac{2}{3}$
            3. 由相似得$displaystyle frac{DE}{BC}=frac{FP}{CA}=frac{KH}{AB}$
   5. 推论4
      1. G为边长为$a$的等边三角形ABC的中点，则$displaystyle GA=GB=GC=frac{sqrt{3}}{3}a$
         
         1. 证明
            1. 等边三角形四心合一点，得$△ABG$为$30°、30°、120°$型三角形，边之比为$1:1:sqrt{3}$，故$displaystyle GA=frac{AB}{sqrt{3}}$