三角形的垂心

1. 垂心的概念

   1. 三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心
      
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      3. 

2. 垂心的性质

   1. 必然存在
      1. 证明
         
         1. 如图，由同侧角相等判定$A,B,E,D$四点共圆，则$angle ABD=angle AED$
         2. 同理，$angle ACF=angle AED$
         3. 由中间的斜八字型得$angle AFC=angle BDC=90^{circ}$
   2. 基本性质
      1. 三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边
         1. 证明：由定义得
      2. 三角形的垂心与三个顶点构成一个垂心组，即这四点中以任意三点为三角形的顶点，则另一点为这个三角形的垂心
         1. 效果图
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            4. 
         2. 证明
            1. 原三角形的的三边成为了新三角形的边和高，原三角形的高成为了新三角形的边和延长线
            2. 由效果图显然易知
   3. 推论
      1. 推论1（设H为$△ABC$的垂心）
         1. 当$△ABC$为锐角三角形时，有
            
            1. $AB^2-AC^2=HB^2-HC^2，且angle BHC=angle ABC+angle ACB=180°-angle BAC$
               1. 证明
                  1. 由勾股定理得$AB^2-AC^2=BD^2-CD^2,HB^2-CH^2=BD^2-CD^2$，边的关系得证
                  2. $angle BHC=angle EHF=180°-angle BAC$，且$angle ABC+angle ACB+angle BAC=180°$，显然易证$angle BHC=angle ABC+angle ACB=180°-angle BAC$
            2. 对于其他两个角同理
         2. 当$△ABC$为钝角三角形时，有
            
            1. $AB^2-AC^2=HB^2-HC^2，且angle CHA=angle ABC$
               1. 证明：思想同上
            2. 对于其他两个角同理
      2. 推论2：相似关系
         1. 有3组相似关系，每组有4个，如图展式一组
            
            
            

            1. 由此显然易证$AH cdot HD=BH cdot HE=CHcdot HF$（由比例式得，或由下面的四点共圆证）

      3.  推论3，6组四点共圆（3组对角互补，3组同侧角相等），此处展式2组

         1. 

      4. 推论4

         1. 点H关于$△ABC$的对称点$H_1,H_2,H_3$均在$△ABC$的外接圆上
            
            
            1. 延长CE到G交外接圆于G，要求证HE=EG
            2. 由斜八字得$angle ACG=angle ABD$，又由等弦对等角得$angle ACG=angle ABG$，则$angle ABD=angle ABG$
            3. 由全等得HE=EG

      5. 推论5

         1.  $△ABC、△BCH、△ACH、ABH$的外接圆是等圆
            

            1. 证明：由推论4翻折出来即可