病态问题

1. 病态问题^[1]是指输出结果对输入数据非常敏感的数值分析问题. 对一个数值分析问题, 如果输入数据有微小误差,引起问题解的相对误差很大, 那么称这个问题为病态问题. 一般而言, 病态问题是指条件数很大的数值分析问题.

   例如：病态方程组

       若一个方程组由于初始数据的小扰动而使解严重失真时，这样的方程组称为病态方程组，反之称为良态方程组。

      例如  x₁+2x₂=7

              2x₁-x₂=-1

              的解为x₁=1，x₂=3；  

             

             而x₁+2x₂=7

                2x₁-1.0009x₂=-1.003

              的解为x₁=0.99988，x₂=3.00006

         可见，尽管方程组有微小变化，其解变化也不大。此为良态方程组。

    而

              2x₁+6x₂=8

              2x₁+6.00001x₂=8.00001

              的解为x₁=1，x₂=1；  

             

             而2x₁+6x₂=8

              2x₁+5.9999x₂=8.00002

              的解为x₁=10，x₂=-2

可见，尽管此方程组的系数及右端项变化很小，它们的解却相差很大。此为病态方程组。此时，如果把其中一个方程组看成另一个方程组的近似方程组，那么，即使把近似方程组解得再精确，也没有什么意义。

 

2.