最长公共子序列

最长公共子序列

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难度：3

描述

咱们就不拐弯抹角了，如题，需要你做的就是写一个程序，得出最长公共子序列。
tip：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

输入

第一行给出一个整数N(0<N<100)表示待测数据组数
接下来每组数据两行，分别为待测的两组字符串。每个字符串长度不大于1000.

输出

每组测试数据输出一个整数，表示最长公共子序列长度。每组结果占一行。

样例输入

2
asdf
adfsd
123abc
abc123abc

样例输出

3
6

来源

经典

上传者

hzyqazasdf

// 题目36优秀代码--运行号：785599
// 运行时间：2014-03-28 19:26:38  |  编程语言:C/C++ |  运行人:MrMoGu

 
#include <stdio.h>
#include <string.h>
char s1[1001], s2[1001];
int dp[1001], t, old, tmp;
int main(){
    scanf("%d", &t);
    getchar();
    while(t--){
        gets(s1);
        gets(s2);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        int lenS1=strlen(s1), lenS2=strlen(s2);
        for(int i=0; i<lenS1; i++){
            old=0;
            //若s1[i]==s2[j], dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1
            //否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
            //此处进行了空间优化，old 代表 dp[i-1][j-1]
            //dp[j-1] 代表 dp[i][j-1], dp[j] 代表 dp[i-1][j]
            for(int j=0; j<lenS2; j++){
                tmp = dp[j];
                if(s1[i]==s2[j])
                    dp[j] = old+1;
                else
                    if(dp[j-1]>dp[j])dp[j]=dp[j-1];
                old = tmp;
            }
        }
        printf("%d
", dp[lenS2-1]);
    }
    return 0;
}        

// 查看代码---运行号：1186649----结果：Accepted
// 运行时间：2015-03-09 15:49:36  |  运行人:1306405026
 
#include <stdio.h>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n,m;
const int CHAR = 256;
const int maxn = 1010;
int  ans[maxn*maxn];
int  dp[maxn*maxn];
char S[maxn];
vector<int>v[CHAR];

int er(int l,int r,int x)
{
    while(l<=r)
    {
        int mid = (l+r)/2;
        if( ans[mid] >= x ) r = mid - 1;
        else               l = mid + 1;
    }
    return l;
}



int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while( n-- )
    {
        for(int i=0 ; i<CHAR ; i++) v[i].clear();

        scanf("%s",S);
        int l = strlen(S);
        for(int i=l-1 ; i>=0 ; i-- )   {
            v[ S[i] ].push_back(i); ///S[i]字符在字符串对应的位置
            ///cout << S[i] << " " << v[ S[i] ].size() << endl;
        }

        int x = 0;
        scanf("%s",S);
        l = strlen(S);
        for(int i=0 ; i<l ; i++ ){
            int k = v[ S[i] ].size();
            if( k )
            {
                for(int j=0 ; j<k ; j++ )
                {
                    dp[x++] = v[ S[i] ][j];
                }
            }
        }

        m = 0;
        ans[m] = -1<<30;
        for(int i=0; i<x ; i++)
        {
            int x = er(0,m,dp[i]);
            ans[x] = dp[i];
            if( x == m+1 ) m++;
        }
        printf("%d
",m);
    }
    return 0;
}
        

最长公共子序列一般性总结:

【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程：

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 100

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
    int i, j;

    for(i = 0; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for(j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    for(i = 1; i<= m; i++)
    {
        for(j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(x[i-1] == y[j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 0;
            }
            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 1;
            }
            else
            {
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = -1;
            }
        }
    }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j)
{
    if(i == 0 || j == 0)
        return;
    if(b[i][j] == 0)
    {
        PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
        printf("%c ", x[i-1]);
    }
    else if(b[i][j] == 1)
        PrintLCS(b, x, i-1, j);
    else
        PrintLCS(b, x, i, j-1);
}

int main(int argc, char **argv)
{
    char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"};
    char y[MAXLEN] = {"BDCABA"};
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN];
    int m, n;

    m = strlen(x);
    n = strlen(y);

    LCSLength(x, y, m, n, c, b);
    PrintLCS(b, x, m, n);

    return 0;
}