题解 P2421 【[NOI2002]荒岛野人】

我的第一道数论紫题
首先，我们先看两个野人，他们相遇的充要条件是
(C_i+P_i imes kequiv C_j+P_j imes k;(mod;M)) 其中(k)是第几年，且(kge L_i;and;L_j)
这个式子还是没有办法直接求解，我们对它进行如下变形
(C_i+P_i imes k-C_j-P_j imes k=bM)
(k imes(P_j-P_i)+bM=C_i-C_j)
令(a=P_j-P_i,c=C_i-C_j)
转化为(ak+bM=c)
用扩展欧几里得求解这个应该都知道吧
其中(k,M)是变量
我们对于每一个(M),只需要枚举每两个野人,只有他们对应的(k)都符合要求时，这个(M)便是可行的。
由于(Mle10^6)直接枚举即可(AC)
(Code)

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=20,maxm=1e6;
int l[maxn],p[maxn],c[maxn];
int n,m;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b) {x=1;y=0;return a;}
    int ans=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;
    x=y;y=t-a/b*y;
    return ans;
}

bool check(int i,int j,int b)
{
    int a=p[j]-p[i],d=c[i]-c[j],x,y;
    if(a<0) a=-a,d=-d;
    int gcd=exgcd(a,b,x,y);
    if(d%gcd) return 1;
    return ((x*(d/gcd)%(b/gcd)+(b/gcd))%(b/gcd))>min(l[i],l[j]);
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d%d",c+i,p+i,l+i),m=max(m,c[i]);
    for(int i=m;i<=maxm;i++)
    {
        bool fg=1;
        for(int j=1;j<=n&&fg;j++)
            for(int k=1;k<=n&&fg;k++)
                if(k!=j) if(!check(j,k,i)) fg=0;
        if(fg)
        {
            printf("%d
",i);
            break;
        }
    }
    return 0;
}