前言
orz毒瘤出题人zjt
网上群论的博客太少了，于是只能自己写一写了TAT~
群的定义与基本性质
群（G,·）（通常简记为群G）由集合G和运算·组成，结合其中任意两个元素a，b生成另一元素，记作a·b。
群满足以下四条性质：
（1）封闭性：对于任意两个属于G的元素a，b，均满足a·b也属于G；
（2）结合性：对于任意三个属于G的元素a，b，c，均满足(a·b)·c=a·（b·c）；
（3）单位元：一定存在且只存在一个属于G的元素e，使得任意一个属于G的元素a均满足e·a=a·e=a；
（4）逆元：对于任意一个属于G的元素a，一定存在一个也属于G的元素b，使得a·b=b·a=e。（元素a的逆元可简记为$a^{-1}$）
举个例子，非零实数集与实数上的乘法运算可组成群。
由于群内元素的运算与次序相关，因此群不一定满足交换性。
满足交换性的群称为交换群，也称为阿贝尔群。
从元素个数上，群可分为两类。元素个数有限的为有限群，否则称为无限群。
基本定义
群的阶：有限群的元素个数。
元素的阶：设a为群G的一个元素，则使$a^x=e$的最小正整数x，叫做元素a的阶。群中所有元素的阶均可被群的阶整除。（拉格朗日定理）
子群：对于群（G，·），若G的子集H，满足（H，·）也是群，则（H，·）是（G，·）的子群。
生成集、生成子群：对于G的子集M，所有包含M的群G的子群的交构成的子群H，称为生成集M的生成子集，记作$<M>$。（显然群H为包含M的最小子群）
下面来证明一下为什么（H，·）为群：
（1）封闭性：对于任意两个属于H的元素a，b，由于a，b属于H，显然属于包含M的所有子群，因此a·b也属于包含M的所有子群，可得a·b也属于H；
（2）结合性：由运算性质而定，显然成立；
（3）单位元：单位元一定属于子群的交，因此单位元也属于H；
（4）逆元：所有包含元素a的子群均包含元素$a^{-1}$，因此也成立。
映射：设有A，B两个非空集合，存在一个法则f，使得对于集合A中的任意一个元素a，按法则f均能在集合B中找到唯一一个元素b与其对应，则称f为A到B的映射。
满射：对于映射f：A→B，满足f（A）=B，则称f是满射。
单射：对于映射f：A→B，任意两个属于A的不同元素a，b满足f（a）≠f（b）。
双射：映射f既是满射也是单射。
同态：存在映射f：A→B，使得任意两个属于A的元素a，b满足f（a·b）=f（a）·f（b）。
同构：存在一一对应的映射f：A→B，使得任意两个属于A的元素a，b满足f（a·b）=f（a）·f（b）。
由定义可见，同构是同态的特殊情况。
置换群
置换：设A是一个有n个元素的非空有限集合，A的一个一一对应的变换称为一个n元置换。若将A的元素按1到n编号，则该置换σ可视为一个1到n的排列。设A={$a_1,a_2,...,a_n$},则置换σ可记为$egin{pmatrix}a_1 a_2 ... a_n\b_1 b_2 ... b_nend{pmatrix}$，$b_i=σ(a_i)$。易得A的置换共有$n!$个，若$σ(a_i)=a_i$，则称σ为n元恒等置换。记所有n元置换的集合为$S_n$。
n元置换之间可以运算，运算法则如下：
$egin{pmatrix}1,2,...,n\a_1,a_2,...,a_nend{pmatrix}egin{pmatrix}a_1,a_2,...,a_n\b_1,b_2,...,b_nend{pmatrix}=egin{pmatrix}a_1,a_2,...,a_n\b_1,b_2,...,b_nend{pmatrix}$
无论置换之间如何进行运算，都属于$S_n$。置换的运算显然满足结合律。n元恒等置换可作为$S_n$的单位元，同时任意置换的逆元也存在于$S_n$中。因此，$S_n$与置换的运算是一个群。
置换群：$S_n$与置换的运算组成的群称为n元对称群，任意子群称为n元置换群。
循环群
若群G存在一个G的元素g，使得$G=<g>$，则群G是循环群。显然循环群是由生成元素通过幂运算构成的。
在循环群$G=<g>$中，若存在不同的整数x，y使得$g^a=g^b$，则存在整数$m=|a-b|$使得：
（1）$g^m=e$；
（2）当$1<=i<j<=m$，$g^i≠g^j$；
（3）若有$x<=m$,使得$g^x=e$，则m整除x；
（4）$<g>={e,g,g^2,...,g^{m-1}}$。
若对于任意不同的a，b，均有$g^a≠g^b$，则$<g>$是一个无限群。
素数阶（循环）群：设群G的阶为p，由于素数阶群中非单位元的元素的阶m大于1，且被p整除。而p为素数，仅有1和p两个因数，所以$m=p$，由此可得$<g>=G$，即群G为循环群。
阿贝尔群
这里再次orz zjt毒瘤大佬。
阿贝尔群，又称交换群。顾名思义，就是运算符合交换律的群。下面主要讨论有限阿贝尔群。
有限阿贝尔群基本定理：所有有限阿贝尔群都可以被表示成若干质数幂阶循环子群的笛卡尔积。（証明ないです）（Sylow定理？？）
以下为有限阿贝尔群的分解算法：
前置知识点
（以下参考zjt大佬的blog）
Sylow p-子群：对于任意有限群G和质数p，令$p_k$为能整除|G|的最高次幂，则G存在阶为$p^k$的子群。
线性无关：称${a_1,a_2,...,a_k}$线性无关，当且仅当对于任意i，均有$<a_i>∩∏_{j≠i}<a_j>={e}$。若不满足，则称${a_1,a_2,...,a_k}$线性相关。元素x与集合A线性无关等同于${x}∪A$线性无关。
基：称${a_1,a_2,...,a_k}$为G的一组基，当且仅当$∏<a_i>=G$，且${a_1,a_2,...,a_k}$线性无关。
分解算法
先溜去看大佬博客了，看懂了再更~
待更……