【bzoj2820】GCD

Description

给定n,m（n,m<=10⁷）, 求 $\sum\limits_{x=1}^{n}\sum\limits_{y=1}^{m}[gcd(x,y)=质数]$。（多组数据，T<=10000）

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Solution

这题是一道模板题，用下面这条公式就能解决啦~

$\sum\limits_{d|n}μ(d)=[n=1]$

$ans=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=质数]$

$=\sum\limits_{p}\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{p}\right\rfloor}[gcd(i,j)=1]$ （p为质数）

$=\sum\limits_{p}\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{p}\right\rfloor}\sum\limits_{d|i,d|j}μ(d)$

$=\sum\limits_{p}\sum\limits_{d=1}^{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor}μ(d)\left\lfloor\frac{n}{pd}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{pd}\right\rfloor$

记 $c=pd$ ，则

$ans=\sum\limits_{c=1}^{n}\sum\limits_{p|c}μ(\frac{c}{p})\left\lfloor\frac{n}{c}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{c}\right\rfloor$

最后用线性筛预处理出$μ(d)$的前缀和，然后按照$\left\lfloor\frac{n}{c}\right\rfloor$的值分块处理就可以啦，时间复杂度$O（T\sqrt{n}）$。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=10000000;
int t,n,m,p[N+10]={0},miu[N+10]={0,1},g[N+10]={0},f[N+10]={0};
bool check[N+10]={false};
void get_miu(){
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!check[i]){
            miu[p[++p[0]]=i]=-1;
            g[i]=1;
        }
        for(int j=1;i*p[j]<=N&&j<=p[0];j++){
            check[i*p[j]]=true;
            if(i%p[j]){
                miu[i*p[j]]=-miu[i];
                g[i*p[j]]=miu[i]-g[i];
            }
            else{
                g[i*p[j]]=miu[i];
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
        f[i]=f[i-1]+g[i];
    return;
}
int main(){
    get_miu();
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>m)
            swap(n,m);
        long long ans=0;
        for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
            ans+=(long long)(f[j=min(n/(n/i),m/(m/i))]-f[i-1])*(n/i)*(m/i);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}