快速幂与矩阵快速幂

幂运算

幂运算(a^b)是(b)个(a)相乘的结果.
C++自带的幂函数pow是最朴素的(O(b))算法,效率非常低,所以如果要用到大量幂运算,最好自己打一个快速幂.

快速幂

求(a^b\%p)的值.

1. 当(b=1)时,返回(a%p).
2. 当(2mid b)时,返回(pow(a,frac{b}{2},p)^2%p).
3. 当(2 mid b)时,返回(pow(a,frac{b}{2},p)^2%p*a%p).
   时间复杂度为(O(log{b})).

long long poww(long long a,long long b,long long p) {
    if(b==1) return a%p;
    long long t=1;
    t=poww(a,b/2,p);
    t=t*t%p;
    if(b%2) t=t*a%p;
    return t;
}

这样写也行

long long poww(long long a,long long b,long long p) {
	long long ans=1;
	while(b) {
		if(b%2==1) ans=ans*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

矩阵乘法

运算方法

矩阵加法,减法,矩阵乘常数这三种运算都很简单,这里不赘述.
有两个分别为(n imes m),(m imes p)的矩阵(a,b)相乘,结果是一个(n imes p)的矩阵(c).
(c[i][j]=sumlimits_{k=1}^{m}{a[i][k]*b[k][j]}).

代码用结构体实现.

struct mat {
    long long (*x)[505]=new long long[505][505];//如果矩阵比较小就直接开数组,太大就用指针.
    /*mat() {
        memset(x,0,sizeof(x));
    }*/ //直接开数组要初始化.
    friend mat operator * (mat a,mat b) {//重载
        mat c;
        for(long long i=1; i<=n; i++) {
            for(long long j=1; j<=m; j++) {
                for(long long k=1; k<=p; k++) {
                    c.x[i][j]=(c.x[i][j]+(a.x[i][k]*b.x[k][j])%MOD)%MOD;
                }
            }
        }
        return c;
    }
};

时间复杂度为(O(nmp))

常数优化

如果(a[i][j]=0),那么会浪费许多时间来计算(a[i][j])与其他数的乘积.
只要改一下循环嵌套的顺序,并判断(a[i][j])是否等于(0),如果是就直接continue.

struct mat {
    long long (*x)[505]=new long long[505][505];
    friend mat operator * (mat a,mat b) {
        mat c;
        for(long long k=1; k<=p; k++) {
            for(long long i=1; i<=n; i++) {
                if(a.x[i][k]==0) continue;//优化
                for(long long j=1; j<=m; j++) {
                    c.x[i][j]=(c.x[i][j]+(a.x[i][k]*b.x[k][j])%MOD)%MOD;
                }
            }
        }
        return c;
    }
};

矩阵快速幂

其实就是把快速幂中的数换成矩阵.

矩阵快速幂的应用

斐波那锲数列 P1962
这是一个矩阵((f(n))表示斐波那锲数列第(n)项)
(left{ egin{matrix} f(n-1) \ f(n-2) end{matrix} ight})
不难很难发现,只要让它乘上矩阵
(left{ egin{matrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{matrix} ight})
就能变成(left{ egin{matrix} f(n) \ f(n-1) end{matrix} ight})
所以如果要求(f(n)),只需算出(left{ egin{matrix} f(n-1) \ f(n-2) end{matrix} ight} * left{ egin{matrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{matrix} ight}^{n-1})
结果的第一行第一列就是(f(n)).