幂运算
幂运算(a^b)是(b)个(a)相乘的结果.
C++自带的幂函数pow是最朴素的(O(b))算法,效率非常低,所以如果要用到大量幂运算,最好自己打一个快速幂.
快速幂
求(a^b\%p)的值.
- 当(b=1)时,返回(a%p).
- 当(2mid b)时,返回(pow(a,frac{b}{2},p)^2%p).
- 当(2
mid b)时,返回(pow(a,frac{b}{2},p)^2%p*a%p).
时间复杂度为(O(log{b})).
long long poww(long long a,long long b,long long p) {
if(b==1) return a%p;
long long t=1;
t=poww(a,b/2,p);
t=t*t%p;
if(b%2) t=t*a%p;
return t;
}
这样写也行
long long poww(long long a,long long b,long long p) {
long long ans=1;
while(b) {
if(b%2==1) ans=ans*a%p;
a=a*a%p;
b>>=1;
}
return ans;
}
矩阵乘法
运算方法
矩阵加法,减法,矩阵乘常数这三种运算都很简单,这里不赘述.
有两个分别为(n imes m),(m imes p)的矩阵(a,b)相乘,结果是一个(n imes p)的矩阵(c).
(c[i][j]=sumlimits_{k=1}^{m}{a[i][k]*b[k][j]}).
代码用结构体实现.
struct mat {
long long (*x)[505]=new long long[505][505];//如果矩阵比较小就直接开数组,太大就用指针.
/*mat() {
memset(x,0,sizeof(x));
}*/ //直接开数组要初始化.
friend mat operator * (mat a,mat b) {//重载
mat c;
for(long long i=1; i<=n; i++) {
for(long long j=1; j<=m; j++) {
for(long long k=1; k<=p; k++) {
c.x[i][j]=(c.x[i][j]+(a.x[i][k]*b.x[k][j])%MOD)%MOD;
}
}
}
return c;
}
};
时间复杂度为(O(nmp))
常数优化
如果(a[i][j]=0),那么会浪费许多时间来计算(a[i][j])与其他数的乘积.
只要改一下循环嵌套的顺序,并判断(a[i][j])是否等于(0),如果是就直接continue.
struct mat {
long long (*x)[505]=new long long[505][505];
friend mat operator * (mat a,mat b) {
mat c;
for(long long k=1; k<=p; k++) {
for(long long i=1; i<=n; i++) {
if(a.x[i][k]==0) continue;//优化
for(long long j=1; j<=m; j++) {
c.x[i][j]=(c.x[i][j]+(a.x[i][k]*b.x[k][j])%MOD)%MOD;
}
}
}
return c;
}
};
矩阵快速幂
其实就是把快速幂中的数换成矩阵.
矩阵快速幂的应用
斐波那锲数列 P1962
这是一个矩阵((f(n))表示斐波那锲数列第(n)项)
(left{
egin{matrix}
f(n-1) \
f(n-2)
end{matrix}
ight})
不难很难发现,只要让它乘上矩阵
(left{
egin{matrix}
1 & 1 \
1 & 0
end{matrix}
ight})
就能变成(left{
egin{matrix}
f(n) \
f(n-1)
end{matrix}
ight})
所以如果要求(f(n)),只需算出(left{
egin{matrix}
f(n-1) \
f(n-2)
end{matrix}
ight}
*
left{
egin{matrix}
1 & 1 \
1 & 0
end{matrix}
ight}^{n-1})
结果的第一行第一列就是(f(n)).