洛谷P5002 专心OI

题目概括

题目描述

这个游戏会给出你一棵树，这棵树有(N)个节点，根结点是(R)，系统会选中(M)个点(P_1,P_2...P_M).

要Imakf回答有多少组点对((u_i,v_i))的最近公共祖先是(P_i)。

Imakf是个小蒟蒻，他就算学了LCA也做不出，于是只好求助您了。

Imakf毕竟学过一点OI,所以他允许您把答案模 ((10^9+7))

输入输出格式

输入格式

第一行 (N , R , M) 此后(N-1)行 每行两个数(a,b) 表示(a,b)之间有一条边 此后(1)行 (M)个数 表示(P_i)

输出格式

(M)行，每行一个数，第(i)行的数表示有多少组点对((u_i,v_i))的最近公共祖先是(P_i)

输入输出样例

输入样例 #1

7 1 3
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 7
1 2 4

输出样例 #1

31
7
1

样例解释

样例1

对于询问1

[(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) \\ (2,1) (2,3) (2,6) (2,7) (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) \\ (4,1) (4,3),(4,6) (4,7) \\ (5,1) (5,3) (5,6) (5,7) \\ (6,1) (6,2) (6,4) (6,5) \\ (7,1) (7,2) (7,4) (7,5) ]

共31组

询问2

[(2,2) (2,4) (2,5)\\ (4,2) (4,5) \\ (5,2) (5,4) ]

共7组

对于询问3

[(4,4) ]

共1组

[N leq 10000,M leq 50000 ]

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解题报告

题意理解

1. 就是问你有多少个数对,以(P_i)为最近公共祖先.

2. 然后有(m)次查询

算法解析

这道题目,其实只考到了(Lca)概念,然后就没有然后了.

[满足Lca(a,b)=x条件,合法数对为(a,b)\ ]

我们分析一下,满足条件的数对,有哪些特性.

1. ((a,b))不同属于x一个子节点的子树,反例如下

2. ((a,b))必须都属于x的子树.反例如下

3. ((a,b))分别属于,(x)不同的儿子的子树节点.正确如下所示

4. ((a,b))之中有一个是(x),另外一个是(x)的子树节点

5. ((a,b))都是(x).懒得画图了

因此,我们总结得出以上规律.

然后如何统计个数呢.

[size[x][i]表示x的第i个儿子节点的子树大小,包括儿子节点i \\k表示x的儿子节点总数 \\Size[x]表示x的子树节点个数,包括x ]

然后我们开始分类讨论.

1. ((a,b))都是(x)子树节点.

[size[x][1] imes size[x][2] imes 2 quad 其中一类\\任选两个儿子节点,子树相乘,再加上有序数对,所以乘以2 \\sum_{i=1}^{k}{sum_{j=1}^{k}size[x][i] imes size[x][j]} \\Rightarrow sum_{i=1}^{k}{size[x][i] imes (Size[x]-1)} \\Rightarrow (Size[x]-1) imes (Size[x]-1) ]

然后重复计算了(a=b)的情况.

[sum_{i=1}^{k}{size[x][i]^2} ]

于是最后要记得减去.

2. ((a,b))中有节点是(x)

于是我们很容易得出.

[2 imes Size[x] -1 quad -1是因为(x,x)算了两次 ]

综上所述,我们得出答案为.

[ans=(2 imes Size[x]-1)+(Size[x]-1)^2-(sum_{i=1}^{k}{size[x][i]^2}) ]

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代码解析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10000+20,Mod=1e9+7;
int n,r,m,size[N],root;
long long ans[N],sum[N];
vector<int> g[N];
inline void dfs(int x,int fa)
{
	size[x]=1;
	for(int y:g[x])
	{
		if (y==fa)
			continue;
		dfs(y,x);
		size[x]+=size[y];
		sum[x]+=size[y]*size[y];
		sum[x]%=Mod;
	}
	ans[x]=(size[x]*size[x]-sum[x])%Mod;
}
inline void init()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&r,&m);
	for(int i=1; i<n; i++)
	{
		int a,b;
		scanf("%d%d",&a,&b);
		g[a].push_back(b);
		g[b].push_back(a);
	}
	dfs(r,r);
	while(m--)
	{
		int x;
		scanf("%d",&x);
		printf("%lld
",ans[x]);
	}
}
signed main()
{
	init();
	return 0;
}