爬楼梯

1.题目描述

假设你正在爬楼梯。需要n阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬1或2个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定n是一个正整数。
示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

2.题解

2.1 矩阵快速幂

public int climbStairs(int n) {
	int[][] q = {{1, 1}, {1, 0}};
	int[][] res = pow(q, n);
	return res[0][0];
}

public int[][] pow(int[][] a, int n) {
	int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};
	while (n > 0) {
		if ((n & 1) == 1) {
			ret = multiply(ret, a);
		}
		n >>= 1;
		a = multiply(a, a);
	}
	return ret;
}

public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
	int[][] c = new int[2][2];
	for (int i = 0; i < 2; i++) {
		for (int j = 0; j < 2; j++) {
			c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
		}
	}
	return c;
}

快速幂（Exponentiation by squaring，平方求幂）是快速计算一个数的大正整数幂的一般方法。
相关阅读：

• 平方求幂 - 维基百科，自由的百科全书
• 算法学习笔记(4)：快速幂 - 知乎

矩阵快速幂指的是底数为矩阵的快速幂。那么矩阵是什么？矩阵是为了解决什么问题？
相关阅读：

• 数学家最初发明行列式和矩阵是为了解决什么问题？ - 知乎

由递推关系得：

[egin{bmatrix} f(n+1)\ f(n) end{bmatrix}= egin{bmatrix} 1 & 1\ 1 & 0 end{bmatrix} ^{n} egin{bmatrix} f(1)\ f(0) end{bmatrix} ]

当n = 5时，

[egin{bmatrix} f(6)\ f(5) end{bmatrix}= egin{bmatrix} 8 & 5\ 5 & 3 end{bmatrix} egin{bmatrix} f(1)\ f(0) end{bmatrix} ]

最终结果取res[0][0]，于是，这里(f(5)=8)，但这是为什么呢？
注意到(f(0)=1)和(f(1)=1)，所以(f(6)=8+5)，(f(5)=5+3)。
这里的矩阵第一行第一列的元素8为什么刚好等于第二行元素的和(5+3)？

当n=1时，(egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}^{1}=egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix})
当n=2时，(egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}^{2}=egin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix})
当n=3时，(egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}^{3}=egin{bmatrix} 3 & 2 \ 2 & 1 end{bmatrix})
当n=4时，(egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}^{4}=egin{bmatrix} 5 & 3 \ 3 & 2 end{bmatrix})
当n=5时，(egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}^{5}=egin{bmatrix} 8 & 5 \ 5 & 3 end{bmatrix})

假设(egin{bmatrix} a & b \ c & d end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix})，于是有：

(egin{bmatrix} a & b \ c & d end{bmatrix}egin{bmatrix} a & b \ c & d end{bmatrix}=egin{bmatrix} a+b & a \ c+d & c end{bmatrix})。

(egin{bmatrix} a & b \ c & d end{bmatrix}egin{bmatrix} a & b \ c & d end{bmatrix}egin{bmatrix} a & b \ c & d end{bmatrix}=egin{bmatrix} a+b & a \ c+d & c end{bmatrix}egin{bmatrix} a & b \ c & d end{bmatrix}=egin{bmatrix} 2a+b & a+b \ 2c+d & c+d end{bmatrix})。

这里很好地解释了当n=5时，为什么矩阵第一行第一列的元素8为什么刚好等于第二行元素的和(5+3)。
因为矩阵第一行第一列的元素值为上一个矩阵的第一行元素的和，但为什么矩阵第二行元素刚好是上一个矩阵的第一行元素呢？
矩阵第二行第一列的元素值为上一个矩阵的第二行元素的和，而矩阵第二行第二列的元素为上一个矩阵的第二行第一列的元素。
结合第一个矩阵为(egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix})，所以矩阵第二行元素刚好是上一个矩阵的第一行元素。

参考：

• 爬楼梯 - 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）