第二类斯特林数总结

第二类斯特林数总结

标签： 第二类斯特林数

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最近做题的时候遇到了一些跟第二类斯特林数有关的东西，发现网上的资料不是很多，于是写一篇博客来总结一下。

第二类斯特林数

定义

第二类斯特林数(S(n,m))表示的是把n个不同的小球放在m个相同的盒子里方案数。
upd:为了看得清楚，有时候我们也用(egin {Bmatrix} n \ mend {Bmatrix})来表示(S(n,m))

求法

一般有两种求法。
递推：
(S(n,m)=S(n-1,m-1)+mS(n-1,m))
即讨论第一个球是否单独在一个盒子里面。
如果不独占一盒，那么把这个球放进任一个盒子，这个盒子就相当于与其他的盒子不同，那么在乘答案的时候就要多乘一个m.

容斥原理:

[S(n,m)={frac 1 {m!}}sum_{k=0}^m (-1)^k C(m,k)(m-k)^n ]

即枚举空盒的个数，剩下的随意放置，由于盒子是相同的最后要除以(m!)
注意到这个式子是一个卷积，所以可以在(O(nlogn))内求出(S(n,0),S(n,1)......)

性质

只有一个公式

[n^k=sum_ { i=0}^k S(k,i)×i!×C(n,i) ]

很好理解，左边就是k个球可以任意放置在n个盒子里。
右边就是枚举非空盒子的数量i，那么把k个球放在i个盒子（盒子不同，需要乘上一个i!）里面再乘上选出i个非空盒子的方案数。

有了这个东西，我们可以很方便的维护一些东西。

组合等式推导

upd:感觉以前写的菜爆了。。。。更新一点吧

上面的性质与求法都是基于组合意义而来的，接下来我们采用一个具有组合意义的等式，将其通过一些变换得到上面的等式。

[n^m=sum_{k=0}^m egin{Bmatrix} m \k end{Bmatrix} n^{underline k} ]

(x^{underline k})是(x)的(k)次下降幂，就是(x imes (x-1) imes(x-2).... imes(x-k+1))
(其实就是上面的性质啦)
当然准确来说这个式子才是定义式，因为这个式子具有清晰的组合意义。
这个式子可以方便的得到递推式：

[sum_{k=0}^m egin{Bmatrix} m\kend{Bmatrix} n^{underline k}= sum_{k=1}^{m} egin{Bmatrix} m-1\k-1end{Bmatrix} n^{underline {k}} +sum_{k=1}^{m} kegin{Bmatrix} m-1\kend{Bmatrix} n^{underline {k}} =\ sum_{k=0}^{m-1} egin{Bmatrix} m-1\kend{Bmatrix} n^{underline {k+1}} +sum_{k=1}^{m} kegin{Bmatrix} m-1\kend{Bmatrix} n^{underline {k}} =(n-k+k)n^{m-1}=n^m]

当然这个步骤写的不太严谨，如果把上面的式子倒过来就是正确的证明步骤，但是这样推就不太好想（不过我们已经知道了结论就随便了）。

好像还有一个等式？

[egin{Bmatrix} m \k end{Bmatrix}={frac 1 {k!}}sum_{i=0}^k (-1)^{k-i} inom {k} {i} i^m ]

再来审视一下之前的定义式。

[k^m=sum_{i=0}^k egin{Bmatrix} m \i end{Bmatrix} i! inom{k}{i} ]

我们把(m)看作常量，令(f_i=i^m,g_i=egin{Bmatrix} m \i end{Bmatrix} i!)。
那么(inom{k}{i})相当于从(g_i)到(f_k)的一个转移矩阵
直接二项式反演，得

[egin{Bmatrix} m \k end{Bmatrix} k!=sum_{i=0}^k (-1)^{k-i} inom {k} {i}i^m ]

再把(k!)移过去就得到最初的式子了。

斯特林反演

对第二类斯特林数的反演。

[q_n=sum_{i=1}^{n}egin{Bmatrix}n \ iend{Bmatrix}p_i Leftrightarrow p_n=sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}egin{bmatrix}n \ iend{bmatrix}q_i ]

其中(egin{bmatrix} n\ mend{bmatrix})是第一类斯特林数，也可以写作(s(n,m))，在不作特殊的说明情况的下（即(s_s(n,m))代表有符号的第一类斯特林数），本文中写到的均为无符号的第一类斯特林数。

在这里，我们只需要知道(s(n,m))的生成函数。

[x^{underline m}=sum_{k=0}^m (-1)^{m-k}egin{bmatrix} m\kend{bmatrix} x^kquad [1] \x^{overline m}=sum_{k=0}^m egin{bmatrix} m\kend{bmatrix} x^k ]

其实这差不多就是有符号和无符号的区别，一个是下降幂，一个是上升幂。

我们发现，这个式子与上面第二类斯特林数的定义式出奇的像。

[x^m=sum_{k=0}^m egin{Bmatrix} m \k end{Bmatrix} x^{underline k} quad [2] ]

将([1])式带入([2])中，得

[x^m=sum_{k=0}^m egin{Bmatrix} m \k end{Bmatrix} sum_{l=0}^k (-1)^{k-l}egin{bmatrix} k\lend{bmatrix} x^l \ =sum_{l=0}^m x^l sum_{k=l}^m (-1)^{k-l}egin{Bmatrix} m \k end{Bmatrix}egin{bmatrix} k\lend{bmatrix}]

显然得到等式

[[l=m]=sum_{k=l}^m (-1)^{k-l}egin{Bmatrix} m \k end{Bmatrix}egin{bmatrix} k\lend{bmatrix} ]

接下来，我们将斯特林反演的两式相互带入，不难得出其等价与上式。

值得一提的是，我们令矩阵(f_{i,j}=egin{Bmatrix} i \ j end{Bmatrix},g_{i,j}=(-1)^{i-j} egin{bmatrix} i\ j end{bmatrix})
那么根据上面的式子，有(FG=E)，即矩阵(F,G)互逆。