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  • 特征方程学习笔记

    求序列通项公式的一个方法。

    二阶齐次线性递推式:#

    考虑一个序列(a_n=Aa_{n-1}+Ba_{n-2})的通项公式。

    (x,y)则有:

    (a_n-xa_{n-1}=y(a_{n-1}-xa_{n-2}))

    意义就是构造一个等比数列。

    继续推:

    (a_n=(x+y)a_{n-1}-xya_{n-2})

    等量代换:

    (A=x+y,B=-xy.)

    这个序列的特征方程定义为:(x^2=Ax+B)

    解出来得到:(x_1=frac{A+sqrt{A^2+4B}}{2},x_2=frac{A-sqrt{A^2+4B}}{2})

    又因为(A=x+y)得到(y_1=frac{A-sqrt{A^2+4B}}{2},y_2=frac{A+sqrt{A^2+4B}}{2}.)

    根据前面式子(a_n-xa_{n-1})是公比为(y)的等比数列。

    设另一序列(S)表示这个等比数列。

    (S_1=a_1-xa_0,S_i=a_i-xa_{i-1},S_i=S_1q^{i-1})

    得到(a_i-xa_{i-1}=(a_1-xa_0)q^{i-1})

    对应两根(x,y)带入得到方程组:

    (a_i-x_1a_{i-1}=(a_1-x_1a_0)y_1^{i-1})

    (a_i-x_2a_{i-1}=(a_1-x_2a_0)y_2^{i-1})

    联立一下方程:上式乘以(x_2),下式乘(x_1)得到

    (x_2a_i-x_1x_2a_{i-1}=x_2(a_1-x_1a_0)y_1^{i-1})

    (x_1a_i-x_1x_2a_{i-1}=x_1(a_1-x_2a_0)y_2^{i-1})

    相减:

    ((x_2-x_1)a_i=x_2(a_1-x_1a_0)y_1^{i-1}-x_1(a_1-x_2a_0)y_2^{i-1})

    (a_i=frac{x_2(a_1-x_1a_0)y_1^{i-1}-x_1(a_1-x_2a_0)y_2^{i-1}}{x_2-x_1})

    对比一下(x,y)的关系,可以得到:

    (y_1=x_2,y_2=x_1)

    于是,可以将式子转化为:

    [a_i=frac{(a_1-x_1a_0)x_2^i-(a_1-x_2a_0)x_1^i}{x_2-x_1} ]

    观察到,这个式子就是该序列的通项公式。

    于是我们可以大力解出特征方程的解,带入如上式子得到通解。

    线性分式递推式#

    对于形如(a_{n+1}=frac{a·a_n+b}{c·a_n+d})的递推式:

    令两边同时(+t)得:

    (a_{n+1}+t=frac{a·a_n+b}{c·a_n+d}+t=(a+ct)frac{a_n+frac{b+dt}{a+ct}}{c·a_n+d})

    带入一下发现是对的。

    (t=frac{b+dt}{a+ct},)解分式方程化简,两边同乘分母得到:

    (ct^2+(a-d)t-b=0),解出(t_1,t_2)两个根带入上式得方程组:

    (a_{n+1}+t_1=(a+ct_1)frac{a_n+t_1}{c·a_n+d})

    (a_{n+1}+t_2=(a+ct_2)frac{a_n+t_2}{c·a_n+d})

    两式子相除得到:

    [frac{a_{n+1}+t_1}{a_{n+1}+t_2}=frac{a_n+t_1}{a_n+t_2}·frac{a+ct_1}{a+ct_2} ]

    所以,(frac{a_{n+1}+t_1}{a_{n+1}+t_2})是公比为(frac{a+ct_1}{a+ct_2})的等比数列。

    也就是说,这个序列形如(a_n=qa_{n-1}).

    那么等比数列通项公式(a_n=a_1*q^{n-1}).同理得到:

    [frac{a_{n+1}+t_1}{a_{n+1}+t_2}=frac{a_1+t_1}{a_1+t_2}(frac{a+ct_1}{a+ct_2})^{n} ]

    也就是说,我们把通项公式写成了(frac{x+y_1}{x+y_2}=C)的形式。

    解一下:

    (x+y_1=C(x+y_2))

    (x+y_1=Cx+Cy_2)

    (x-Cx=Cy_2-y_1)

    ((1-C)x=Cy_2-y_1)

    (x=frac{Cy_2-y_1}{1-C}).

    那么通项公式可以写成:

    [a_{n+1}=frac{(frac{a+ct_1}{a+ct_2})^{n}t_2-t_1}{1-(frac{a+ct_1}{a+ct_2})^{n}} ]

    题目得解。

    对于这类递推序列,它的特征方程是:(x=frac{ax+b}{cx+d},)(cx^2+(a-d)x-b=0).

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