浅谈杜教筛

来重温一下杜教筛，由于生物历史会考，有一阵子没写了……

狄利克雷卷积

有两个函数(f,g,) 它们的狄利克雷卷积为 ((f*g)=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d}).)

由定义得，狄利克雷卷积满足交换律，结合律。

常见狄利克雷卷积：

(mu*id=varphi,mu*1=varepsilon,id*1= ho,1*1=d,d)函数是约数个数.

杜教筛

考虑求(f(i))的前缀和。令(h(i)=f*g.S(i)=sum_i f(i).)

[sum_i h(i)=sum_{i=1}^n sum_{d|i}f(d)g(frac{n}{d}) ]

枚举(d:)

[=sum_{d=1}^n g(d)sum_{i=1}^{frac{n}{d}}f(i)=sum_{d=1}^n g(d)S(frac{n}{d}). ]

考虑(g(1)S(n))如何求。由上式得：

[g(1)S(n)=sum_{d=1}^n g(d)S(frac{n}{d})-sum_{d=2}^n g(d)S(frac{n}{d})=sum_{i=1}^n h(i)-sum_{d=2}^n g(d)S(frac{n}{d}) ]

求出(g(1)S(n))后，除以(g(1))即可得到结果。

那么，根据上面柿子可以得到应用杜教筛的条件：(g,h)函数的前缀和都很好求。

(mu)的前缀和

我们知道，(mu*1=varepsilon.)故(f=mu,g=1,h=varepsilon.)

(varepsilon)的前缀和(=1,g)的前缀和 (=n.)

从而我们可以在(O(n^{frac{3}{4}}))的时间中求出。

如果我们线性筛出前 (n^{frac{2}{3}}) 的函数，我们就可以在(O(n^{frac{2}{3}}))的时间中求得结果。

证明上面(O(n^{frac{3}{4}}))的复杂度：

求出(S(n))需要(sqrt n)个(S(frac{n}{i}))的不同取值。结合数论分块复杂度：

[O=sum_{i=1}^{sqrt n}sqrt i+sqrt{frac{n}{i}}=n^{frac{3}{4}}. ]

筛好前(m)个值，上面(sum)上限会变成(frac{n}{m}.)筛出前(n^{frac{2}{3}})即可将时间复杂度降为(O(n^{frac{2}{3}}).)

(varphi)的前缀和

(varphi*varepsilon=id,f=varphi,g=varepsilon,h=id.sum id=frac{n*(n+1)}{2}.)同上面求即可。

上面加起来就是模板.

(Other)

求(sum varphi(i)·i.)

令(f=sum varphi*i,g=id,h=sum_{d|n} varphi(d)*d*frac{n}{d} =n^2.)同上面求即可。

上面的模板题中，(varphi)也可以用莫比乌斯反演求出来。

(sum_{i=1}^n varphi(i)=sum_{i=1}^n sum_{j=1}^i gcd(i,j)=1)

去掉(j<=i)的限制，即为：

(sum_{i=1}^n sum_{j=1}^n gcd(i,j)=1=sum_{i=1}^n sum_{j=1}^n sum_{d|gcd(i,j)}mu(i).=sum_{d=1}^n mu(d) (frac{n}{d})^2.)

求出上面式子，得出它的一半即可。

模板题代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=2e6+10;
bitset<MAXN+10>vis;
int p[MAXN+10],cnt,mu[MAXN+10],phi[MAXN+10];
typedef long long ll;
void predo(){
	mu[1]=1;phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=MAXN;++i){
		if(!vis[i])p[++cnt]=i,phi[i]=i-1,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=MAXN;++j){
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
				break;
			}
			phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=MAXN;++i)mu[i]+=mu[i-1],phi[i]+=phi[i-1];
}
map<int,int>M,P;
ll GetM(int n){
	if(n<=MAXN)return mu[n];
	if(M.count(n))return M[n];
	ll res=1;
	for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1){
		r=(n/(n/l));
		res-=(r-l+1)*GetM(n/l);
	}
	return M[n]=res;
}
ll GetP(int n){
	if(n<=MAXN)return phi[n];
	if(P.count(n))return P[n];
	ll res=(n*(n+1))/2;
	for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1){
		r=(n/(n/l));
		res-=(r-l+1)*GetP(n/l);
	}
	return P[n]=res;
}
signed main(){
	predo(); 
	int T;scanf("%lld",&T);while(T--){
		int x;
		scanf("%lld",&x);
		printf("%lld %lld
",GetP(x),GetM(x));
	}
	return 0;
}