tarjan算法 双连通分量

##一、边双连通分量

##定义

##边双连通图：若一幅无向图中去掉任意一条边都不会改变此图的连通性，即不存在桥，则该图称为边双连通图。
##边双连通分量：无向图中，删除任意一条边仍连通的块，简称“e-DCC“。
##定理：一张图是边双连通，当且仅当任意一条边都包含在一个简单环中（即无桥）
##性质：桥把整张图拆成若干个“e-DCC”，桥不在任意“e-DCC”上。

tarjan求边双连通分量

##算法：首先用tarjan标记出所有的桥，然后用dfs遍历整张图（遍历过程中不访问桥边），求出连通块数量，就是边双连通分量数量。
##代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=5e4+5,M=3e5+5;
int n,m,x,y,cnt=1,hd[N],to[M<<1],nxt[M<<1],dfn[N],low[N],num,c[N],dcc;
bool g[M<<1];
void add(int x,int y){
    to[++cnt]=y,nxt[cnt]=hd[x],hd[x]=cnt;
}
void tarjan(int x,int fa){
    dfn[x]=low[x]=++num;
    for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){
        int y=to[i];
        if(!dfn[y]){
            tarjan(y,i);
            low[x]=min(low[x],low[y]);
            if(low[y]>dfn[x]) g[i]=g[i^1]=1;
        }
        else if(i!=(fa^1)) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    }
}
void dfs(int x){
    c[x]=dcc;
    for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){
        int y=to[i];
        if(c[y]||g[i]) continue;
        dfs(y);
    }
}
signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        add(x,y),add(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i]) tarjan(i,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!c[i]) ++dcc,dfs(i);
    printf("%lld
",dcc);
    return 0;
}

##边双连通分量缩点：将所有的边双连通分量缩成一个点，把边（x，y)看作连接编号c[x]和c[y]的边双连通分量对应节点的无向边，原图会变成一棵树。
##代码：

int cnt2=1,hd2[N],to2[N<<1],nxt2[N<<1]; 
void add2(int x,int y){
    to2[++cnt2]=y,nxt2[cnt2]=hd2[x],hd2[x]=cnt2;
}
/*.......*/
int main(){
    /*.......*/
    for(int i=2;i<=cnt;i++){
        int x=to[i^1],y=to[i];
        if(c[x]!=c[y]) add2(c[x],c[y]);
    }
    //dcc 为缩点后森林的点数，cnt2/2 为缩点后森林的边数 
    for(int i=2;i<cnt2;i+=2)
        printf("%lld %lld
",to2[i^1],to2[i]); 
} 

##定理：1、当缩点后的图中，如果叶子数leaf(入度为1)为1，则将一个有桥图通过加边变成边双连通图至少要添加的边数为0；否则为 (leaf+1)/2。

##二、点双连通分量

##定义

##点双连通图：若一幅无向图中去掉任意一个点都不会改变此图的连通性，即不存在割点，则称作点双连通图。
##点双连通分量：无向图中，删除任意一个点仍连通的块，简称“v-DCC”。
##定理：一张无向图是点双连通分量的条件，满足以下两个里满足一个：
1、图的顶点数不超过2
2、图中任意两点都同时包含在至少一个简单环中。
##性质：1、“v-DCC”中没有割点。
2、若两个“v-DCC”之间有公共点，那么这个点就是原图的割点。
3、在无向图中，割点可能属于多个“v-DCC”，但其它点只能属于一个“v-DCC”。
4、割点讲整张图分成若干个“v-DCC”。

##tarjan求点双连通分量

##算法：对于点双连通分量，实际上在求割点的过程中就能顺便求出每个点双连通分量。建立一个栈，存储当前双连通分量，在搜索图时，每找到一条树枝边或后向边（非横叉边），就把这条边加入栈中。如果遇到满足 dfn[x]≤low[y]，说明 x 是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到边 (x,y) 为止。取出的这些边与其相连的点，组成一个 v-DCC。对于两个 v-DCC，最多只有一个公共点即割点。
##代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=5e4+5,M=3e5+5;
int n,m,x,y,cnt=1,hd[N],to[M<<1],nxt[M<<1],dfn[N],low[N],num,root,top,tot,st[N];
bool g[N];
vector<int>dcc[N];
void add(int x,int y){
    to[++cnt]=y,nxt[cnt]=hd[x],hd[x]=cnt;
}
void tarjan(int x){
    dfn[x]=low[x]=++num,st[++top]=x;
    if(x==root&&!hd[x]) return (void)(dcc[++tot].push_back(x));    //孤立点 
    int flag=0;
    for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){
        int y=to[i];
        if(!dfn[y]){
            tarjan(y),low[x]=min(low[x],low[y]);
            if(low[y]>=dfn[x]){
                flag++;
                if(x!=root||flag>1) g[x]=1;
                dcc[++tot].push_back(st[top]);
                while(st[top]!=y) dcc[tot].push_back(st[--top]);
                --top,dcc[tot].push_back(x);
            }
        }
        else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    }
}
signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        if(x==y) continue;
        add(x,y),add(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i]) root=i,tarjan(i);
    for(int i=1;i<=tot;i++)
      for(int j=0;j<dcc[i].size();j++)
       printf("%lld%c",dcc[i][j],j==dcc[i].size()-1?'
':' ');
    return 0;
}

##点双连通分量缩点：设图中有p个割点，t个“v-DCC” 。我们建立一个包含p+t个点的新图，割点和v-DCC作为新图的节点，并在每个割点与包含它的所有 v-DCC 之间两边。
##代码：

int cnt2=1,hd2[N],to2[N<<1],nxt2[N<<1]; 
void add2(int x,int y){
    to2[++cnt2]=y,nxt2[cnt2]=hd2[x],hd2[x]=cnt2;
}
/*.......*/
int main(){
    /*.......*/
    //给每个割点一个新的编号（编号从 tot+1 开始）
    num=tot;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(g[i]) k[i]=++num;
    //建新图，从每个 v-DCC 到它包含的所有割点连边
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        for(int j=0;j<dcc[i].size();j++){
            int x=dcc[i][j];
            if(g[x]) add2(i,k[x]),add2(k[x],i);
            else c[x]=i;    //除割点外，其他点仅属于 1 个 v-DCC 
        } 
    //缩点之后的森林，点数为 num，边数为 cnt2/2 
    //编号 1~tot 的为原图的 v-DCC，编号 >tot 的为原图割点
     for(int i=2;i<cnt2;i+=2)
         printf("%lld %lld
",to2[i^1],to2[i]);
     return 0;
}