算法分析与设计(work12)

1、问题

图的 (m) 着色问题。给定无向连通图 (G) 和 (m) 种颜色，用这些颜色给图
的顶点着色，每个顶点一种颜色。如果要求 (G) 的每条边的两个顶点着不
同颜色。给出所有可能的着色方案;如果不存在，则回答“(NO)”。

2、解析

设 (G) 有 (n) 个点，有 (m) 种颜色可以选择，那么可以转化为一棵深度为 (n) 的 (m) 叉树。
使用回溯法来解决，首先将 (cut=1) 传入 (dfs)，表示从第 (1) 个点开始涂色，涂的时候颜色从 (1sim m)，对于某个颜色，我们需要检查这个颜色是否可涂，如果可以就把 (cnt+1) 传入 (dfs)，否则就改别的颜色。
当 (cnt>n) 表示已经涂完了前 (n) 个点，则方案数 (ans+1)。

3、设计

void dfs(int cnt)
{
    if(cnt>n){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            printf("%d%c",color[i]," 
"[i==n]);
        }
        ans++;
        return;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        color[cnt]=i;
        int k=1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(graph[cnt][j]&&color[j]==color[cnt]){
                k=0;
                break;
            }
        }
        if(k){
            dfs(cnt+1);
        }
        color[cnt]=0;
    }
}

4、分析

考虑这棵搜索树的大小，大小为 (1+m+m^2+m^3+....m^n)，那么最坏的情况就是 (2m^n)个节点，其中每个节点还要和与其相连的节点比较，最坏时间复杂度 (O(2m^n imes n)=O(nm^n))。

5、源码

https://github.com/HaHe-a/Algorithm-analysis-and-design-code/blob/master/m-color.cpp