一、数据结构背景+代码变量介绍
二叉查找树，又名二叉排序树，亦名二叉搜索树
它满足以下定义：
1、任意节点的子树又是一颗二叉查找树，且左子树的每个节点均小于该节点，右子树的每个节点均大于该节点。
2、由1可推出，任意节点的左孩子小于该节点，右孩子大于该节点
以上讨论的是左（右）孩子（子树）存在的情况
它的中序遍历是一个升序的排序
在参考代码中，我们定义有：
主程序中，k代表插入或删除或查找的节点的值
root，根节点位置；a[i]，第 i 号节点的值；cl[i]，第 i 号节点左孩子的位置；cr[i]，第 i 号节点右孩子的位置；fa[i]，父亲节点位置
二、中序遍历
中序遍历的求法采用递归，先递归它的左孩子，然后打印当前节点，最后递归它的右孩子（当左或右孩子存在时才进行递归）
如上图的中序遍历为 DBEAFC
时间复杂度O(n)
1 void mid(int x) 2 { 3 if (time[cl[x]]!=0) mid(cl[x]); 4 cout<<a[x]<<" "; 5 if (time[cr[x]]!=0) mid(cr[x]); 6 } 7 8 主程序中：mid(root);
三、插入节点
我们采用遇到相同的节点，使该节点计数器+1的办法
先从根节点出发：
1、若当前节点小于插入的数，则递归进入其左儿子
若左儿子计数器为0，即不存在左儿子，则直接将数插入到左儿子
2、若当前节点大于插入的数，则递归进入其右儿子
若右儿子计数器为0，即不存在右儿子，则直接将数插入到右儿子
3、若当前节点等于插入的数，则直接将该节点计数器+1
样例一
如上图，将6插入该二叉树
1、与根节点比较，小于根节点，进入左儿子
2、与2比较，大于2，进入右儿子
3、与5比较，大于5，进入右儿子，但因右儿子不存在，所以将6作为其右儿子
样例二
如上图，将1插入该二叉树：
1、与根节点比较，小于8，进入左儿子
2、与2比较，小于2，进入左儿子，但因其左儿子不存在，所以将1作为其左儿子
时间复杂度O(log2n)
1 void ins(int i,int x) 2 { 3 if (root==0) 4 { 5 a[1]=x; 6 time[1]=root=1; 7 return; 8 } 9 if (x<a[i]) 10 { 11 if (time[cl[i]]==0) 12 { 13 cl[i]=top>0?s[top--]:++tail;
14 a[cl[i]]=x; 15 fa[cl[i]]=i; 16 time[cl[i]]++; 17 cr[cl[i]]=cl[cl[i]]=0; 18 } 19 else ins(cl[i],x); 20 } 21 else if (x>a[i]) 22 { 23 if (time[cr[i]]==0) 24 { 25 cr[i]=top>0?s[top--]:++tail;
26 a[cr[i]]=x; 27 fa[cr[i]]=i; 28 time[cr[i]]++; 29 cr[cr[i]]=cl[cr[i]]=0; 30 } 31 else ins(cr[i],x); 32 } 33 else 34 { 35 time[i]++; 36 } 37 } 38 39 主程序中：ser(root,k); root代表起始位置，k代表插入的值
四、查找节点
查找类似于插入
同样从根节点出发，如果遇到了空节点，即计数器等于0的节点，直接返回0，表示未查找到
若该节点等于查找的值，则返回该节点的位置
若该节点大于查找的值，则向左儿子递归查找
若该节点小于查找的值，则向右儿子递归查找
此处说明，若当前节点为空节点，则说明小于（大于）该节点父亲的值不存在，即未查找到
查找类似于线段树思想，是一步步向下把范围缩小，直到找到期望的值或无结果
样例一
如上图，需查找的值为5
1、查找根节点，5<8，进入左儿子
2、5>2，进入右儿子
3、5=5，查找到该节点，返回该节点的位置
若需查找的值为4时，在第3步会进入其左儿子，又因左儿子为空节点，则返回0，说明未查找到
时间复杂度O(log2n)
1 int sea(int i,int x) 2 { 3 if (time[i]==0) return 0; 4 if (a[i]==x) return i; 5 else if (a[i]>x) return ser(cl[i],x); 6 else return ser(cr[i],x); 7 } 8 9 主程序中：sea(root,k); root代表查找的起始位置，k代表查找的值
五、删除节点
当需要删除节点时，先查找改值所在的位置，然后再进行删除
如果该节点计数器大于1，则只用把计数器-1
如果计数器等于1，即删除后该节点不再存在，则根据儿子的数目分为三种情况：
1、没有儿子：直接将该节点删除
2、一个儿子：将该节点父亲的左（右）儿子直接指向该节点的唯一的那个儿子
3、两个儿子：在该节点的右子树中寻找一个最小的值，然后用最小的那个节点替代该节点，最后删除最小的节点
寻找最小节点具体方法：先将目前节点指向右儿子，然后寻找不断指向目前节点的左儿子，直到没有左儿子为止
因为需要删除的最小节点肯定没有左儿子，所以只需递归执行第1或第2种情况，即 del（最小节点位置，最小节点的值）具体请参考代码
样例一
删除9节点：调用查找，查找到9的位置，因为它没有儿子，可直接删除
样例二
删除5节点：同样查找5节点的位置，发现其有1个孩子，则将 5节点 的 父亲2节点 的 右孩子 指向 5节点 的 孩子6节点，这样就自动删除了5节点
样例三
删除2节点：
1、查找到2节点的位置
2、把最小节点指向其右孩子
3、不断寻找目前最小节点的左孩子，直到尽头，找到最小节点
4、将最小节点的信息赋给2节点
5、按照删除节点的方法删除最小节点4节点
时间复杂度O(log2n)
1 void del(int k,int x) 2 { 3 int ct=0; 4 if (cl[k]!=0) ct++; 5 if (cr[k]!=0) ct++; 6 time[k]--; 7 if (time[k]==0) 8 { 9 if (ct==1) 10 { 11 s[++top]=k;
12 if (k==root) 13 { 14 root=time[cr[k]]==0?cl[k]:cr[k]; 15 return; 16 } 17 if (x<a[fa[k]]) cl[fa[k]]=time[cr[k]]==0?cl[k]:cr[k]; 18 else cr[fa[k]]=time[cr[k]]==0?cl[k]:cr[k]; 19 } 20 else if (ct==2) 21 { 22 int s=cr[k]; 23 if (time[cl[s]]!=0) s=cl[s]; 24 time[k]=time[s]; 25 a[k]=a[s]; 26 del(s,a[s]); 27 } 28 else s[++top]=k;
29 } 30 } 31 32 主程序中：del(sea(root,k),k); 先查找到需删除的节点的位置，然后删除k
六、空节点位置栈
在删除节点的时候，会产生许多空节点
为了节省空间，我们会开一个栈来保存空节点的位置，当删除某个节点后，把它空出来的位置压入栈中
当插入节点时，先询问栈顶top是否大于0，若栈中有元素，则把栈中的位置弹出，用该位置存放节点
若栈中没有元素，表示前面没有空的位置，则新开一个空间来存放节点，通过保存最大位置数的变量tail来控制最大位置
七、特殊情况
对于二叉查找树会产生如下图的情况
则所有操作的时间往往会被卡成线性O(n)，而利用平衡二叉树、伸展树、红黑树等等数据结构便会帮我们解决这个问题
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