1）基础知识预备：概率分布
1.1）定义：
广义地，它指称随机变量的概率性质，即一个随机变量在概率空间的分布状况
狭义地，它是指随机变量的概率分布函数，定义如下：
对于任意实数a，有： FX(a) = P(X≤a) ，FX(a)即是a的概率分布函数，而 P(X≤a) 则是在随机变量X取值≤a时的所有的概率之和，所以概率分布函数又称为累计概率函数。
ps：个人认为叫做累计概率函数更好理解一些啊！！！更详细的剖解请参考 https://www.jianshu.com/p/b570b1ba92bb
但是对于离散分布，再用FX(a) = P(X≤a) 这个公式表达就不准确了，因为FX(a)表示的是随机变量X≤a的概率值之和，但是当X是离散随机变量的话，X≤a显然就不合理了。所以对于离散分布：
用语言来描述的话，就是：把所有小于等于x的概率值相加，所以本质上还是概率的累积值，只不过在表达上比上式更为严谨。
1.2）研究的意义：
说完了概率分布的定义，接下来我们当然要了解这个概率分布它到底有什么用，为什么我们要去研究它？这样以便我们能够更好的理解它。
举个例子吧：将每一天的降雨量设为X，显然，这个X是一个随机变量，那么你如果要研究降雨量，你是会选择研究当X等于某一特定值得概率还是会选择研究X落在实数域上某一区间上的概率呢？
显而易见，肯定是后者啦。你看天气预报有把每个降雨量的概率告诉你吗（当然这个也不可能。。。），还不是告诉你明天是小雨还是中雨或者是大雨用这样的区间的形式。而概率分布就是描述一个随机变量在某一个区间上的概率。
下面是从各处引用（ctrl+c、ctrl+v）来的我们经常会听到的一些随机分布。因为本文的重点是为了引出联合分布这个知识点，所以对下面的各种分布就不多说了。
ps：以上都是一些不成熟的个人见解，如果有误，还烦请指出！
1.3）常见的几种分布：
#二项分布：详细请参考：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E4%BD%88
二项分布是一种离散型的概率分布。故明思义，二项代表这个随机变量只有两种可能的结果。
掷硬币就是一个典型的二项分布。当我们要计算抛硬币n次，恰巧有x次正面朝上的概率，可以使用二项分布的公式：
其中，p为正面朝上的概率
#泊松分布：
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数
泊松分布的概率质量函数为：
泊松分布的参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率。
#正态分布：
又名高斯分布，是一个非常常见的连续概率分布。正态分布在统计学上十分重要，经常用在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量。
若随机变量
有几种不同的方法用来说明一个随机变量。最直观的方法是概率密度函数，这种方法能够表示随机变量每个取值有多大的可能性。
累积分布函数是一种概率上更加清楚的方法，请看下边的例子。
正态分布的概率密度函数：
正态分布的累计概率函数（由密度函数表示的）：
正态分布的累积分布函数能够由一个叫做误差函数的特殊函数表示：
![Phi (z)={frac 12}left[1+operatorname {erf}left({frac {z-mu }{sigma {sqrt 2}}}
ight)
ight].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbbfb0d7d4f08fe1c4d0e13a840838636797a3c2)
标准正态分布的累积分布函数习惯上记为
将一般正态分布用误差函数表示的公式简化，可得：
![Phi(z)
=
frac{1}{2} left[ 1 + operatorname{erf} left( frac{z}{sqrt{2}}
ight)
ight]
.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc207a97dbcecd9eac86cabd73cf457bbade004e)
关于正态分布的几个特征：
a.密度函数关于平均值对称
b.平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。
c.函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。
d.95.449974%的面积在平均数左右两个标准差
e.99.730020%的面积在平均数左右三个标准差
f.99.993666%的面积在平均数左右四个标准差
g.函数曲线的拐点为离平均数一个标准差距离的位置。
关于正态分布的几个性质：
- 如果
且
与
是实数，那么
- 如果
与
是统计独立的正态随机变量，那么：
- 它们的和也满足正态分布
- 它们的差也满足正态分布
.
与
两者是相互独立的。（要求X与Y的方差相等）
- 它们的和也满足正态分布
- 如果
和
是独立正态随机变量，那么：如果
为独立标准正态随机变量，那么
服从自由度为n的卡方分布。
- 它们的积
服从概率密度函数为
的分布
其中
是修正贝塞尔函数（modified Bessel function）
- 它们的比符合柯西分布，满足
.
- 它们的积
