线性代数

线性代数 - 01 行列式

一、行列式的概念与性质

1、二阶、三阶行列式

2、n阶行列式的全面展开

3、行列式的性质

二、行列式的降阶算法

1、代数余子式

2、特殊行列式的计算公式

3、行列式的降阶算法

三、克莱姆法则

1、行列式的按行（列）展开

2、代数余子式组合定理

3、克莱姆法则

一、行列式的概念与性质

    当一个矩阵(纵横排列的二维数据)的行数与列数相等的时候，把它的n*n个数拿来可以构成一个行列式，行列式是一个数值(标量)。行列式是用垂直直线表示。

1、二阶、三阶行列式

二阶行列式：

三阶行列式：

以上两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式。

行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标，如a₃₂表示该元素位于第3行、第2列。

二阶、三阶行列式可以用对角线法求值：实对角线上元素的乘积前置符号取正；虚对角线上元素的乘积前置符号取负。它们的代数和即行列式的值。

2、n阶行列式的全面展开

    用n²个元素可以构成n阶行列式。（n大于等于4）

    高于4阶的行列式不能用对角线法展开。

通过全面展开来计算行列式显然是很复杂的，应该考虑简便的方法．

3、行列式的性质

性质1：行列式转置后，其值不变。即D^T=D。

          备注：将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为D^T

性质2：交换行列式的两行(列)，行列式的值变号。

性质3：行列式的某一行(列)元素有公因子，可以提到行列式的外面．

性质4：一个行列式可以拆分成两个行列式的和，这两个行列式的某对应行(列)上相同位置的元素之和，正好等于原行列式的对应位置的元素，而其他行(列)的元素都与原行列式相同。

性质5：把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数后加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变。