Disjoint Sets

Disjoint Sets

Disjoint Sets的意思是一堆集合們，它們相互之間都沒有交集。沒有交集是指：各個集合之間沒有擁有共同、相同的元素。中文稱作「分離集」。

Disjoint Sets的性質相當特殊。資訊學家仔細觀察其特性後，精心設計出一套優雅美觀的資料結構，可以快速的做集合運算。

Union、Find、Split

由於每個Disjoint Sets指的就是集合們都沒有交集，我們就不用考慮交集、差集等等的運算，因為結果很明顯。所以只需要考慮union、find、split這三個集合運算：

union就是將兩個集合做聯集，合併成一個集合。find就是找找看一個元素是在哪個集合裡面。split就是把一個元素從一個集合中分離出來。

【split此處暫不介紹，俟編者讀過書後再來寫。】

Disjoint Sets的應用範例：分組

現在教室裡有十個學生，他們為了做報告，要進行自由分組──每組的人數是不固定的，有些人是自己一個人一組，也有可能這十個學生都同一組。學生聲稱已經分好組了，但是你還是很擔心分組的情況，所以去找了幾個學生來問話。學生會告訴你他和誰誰誰一組，但是他可能不知道他們那組全部的人到底有誰，因為同一組的組員可能又去拉別人入組，但是他不知情。現在你知道了一些學生告訴你的資訊，你要怎麼知道到底誰和誰同組，誰和誰不同組呢？

要解決這樣的問題，便可以使用Disjoint Sets。不管學生怎麼分組，任何一個學生除了是自己組的組員之外，不可能是別組的組員。所以這些學生分出來的組（集合），必定是Disjoint Sets。

Disjoint Sets: 簡單的資料結構

簡單的資料結構

讓一條int陣列的第x格代表第x人，格子裡填上這個人所屬的團體編號。若兩個人在同一團體，他們的格子裡就會有相同的團體編號。這是很直觀的方式。

 

1. int g[10];  // 每個人所屬的團體編號
2. g[0] = 0;   // 第 0 人在第 0 團
3. g[1] = 0;   // 第 1 人在第 0 團
4. g[2] = 1;   // 第 2 人在第 1 團
5. …
6. g[9] = 7;   // 第 9 人在第 7 團

int g[10]; // 每個人所屬的團體編號 g[0] = 0; // 第 0 人在第 0 團 g[1] = 0; // 第 1 人在第 0 團 g[2] = 1; // 第 2 人在第 1 團 … g[9] = 7; // 第 9 人在第 7 團

初始化

一開始大家還沒開始分團的時候，其實可以想做是：每個人都不同團，每個人都是自己一人一團。有個方便的初始值設定方法，就是將第x格的值設成x，這樣每個人就都是不同團體的了。

 

1. void initialize()
2. {
3.     for (int x=0; x<10; x++)
4.         g[x] = x;
5. }

void initialize() { for (int x=0; x<10; x++) g[x] = x; }

Union: 兩個人想合併自己所屬團體

現在有兩團想要合併成一團，交涉的人分別是x和y。x y想要合併成一團，只要把所有與x y同團的人，都填上同一個團體編號就行了。可以找x y其中一團的團體編號，作為新的團體編號，這樣就不需要額外的編號了。（這裡我們不考慮會不會有人不服氣的問題。）

 

1. void union(int x, int y)
2. {
3.     // 要是 x y 不同團，才設成同團，以節省時間。
4.     if (g[x] != g[y])
5.     {
6.         int gmax = max(g[x], g[y]); // 團體編號比較大那個
7.         int gmin = min(g[x], g[y]); // 團體編號比較小那個
9.         // 把所有與 x y 同團的人，都填上同一個團體編號。
10.         for (int i=0; i<10; i++)
11.             if (g[i] == gmax)
12.                 g[i] = gmin;
13.     }
14. }

void union(int x, int y) { // 要是 x y 不同團，才設成同團，以節省時間。 if (g[x] != g[y]) { int gmax = max(g[x], g[y]); // 團體編號比較大那個 int gmin = min(g[x], g[y]); // 團體編號比較小那個 // 把所有與 x y 同團的人，都填上同一個團體編號。 for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gmax) g[i] = gmin; } }

 

1. void union(int x, int y)
2. {
3.     if (g[x] == g[y]) return;
4.     x = g[x]; y = g[y];
5.     for (int i=0; i<10; i++)
6.         if (g[i] == x)
7.             g[i] = y;
8. }

void union(int x, int y) { if (g[x] == g[y]) return; x = g[x]; y = g[y]; for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == x) g[i] = y; }

Find: 找出一個人在哪一團？

直接看團體編號即可。

 

1. int find(int x)
2. {
3.     return g[x];
4. }

int find(int x) { return g[x]; }

Equivalent Relation: 兩個人是否同團？

直接看團體編號即可。

 

1. bool equivlence(int x, int y)
2. {
3.     return g[x] == g[y];
4. }

bool equivlence(int x, int y) { return g[x] == g[y]; }

Number of Sets: 全部總共有幾個團體？

兩團合併成一團後，總團體數就會減少一團。所以只要修改一下union的程式碼就可以了。

 

1. int groups = 10;    // 團體數
3. void union(int x, int y)
4. {
5.     if (g[x] == g[y]) return;
6.     groups--;   // 兩團合併成一團，總團體數就會減少一團。
8.     int gmax = max(g[x], g[y]), gmin = min(g[x], g[y]);
9.     for (int i=0; i<10; i++)
10.         if (g[i] == gmax)
11.             g[i] = gmin;
12. }

int groups = 10; // 團體數 void union(int x, int y) { if (g[x] == g[y]) return; groups--; // 兩團合併成一團，總團體數就會減少一團。 int gmax = max(g[x], g[y]), gmin = min(g[x], g[y]); for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gmax) g[i] = gmin; }

Cardinality of a Set: 一個團體總共有幾個人？

一個一個數是差勁的方法：

 

1. // 計算出團體編號為 gn 的人數
2. int cardinality(int gn)
3. {
4.     int people = 0;
5.     for (int i=0; i<10; i++)
6.         if (g[i] == gn)
7.             people++;
8.     return people;
9. }

// 計算出團體編號為 gn 的人數 int cardinality(int gn) { int people = 0; for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gn) people++; return people; }

比較好的方法是：另外開一條陣列去紀錄每個團體的人數吧！陣列第x格填入團體編號為x的人數。要找出一個團體的人數，就直接從陣列裡面找。

以團體的角度來看：兩團合併成一團後，團體人數就會改變。以人的角度來看：當一個人所屬的團體被改變時，就調整人數。所以只要修改一下union的程式碼就可以了。

 

1. int n[10];  // 每個團體的人數
3. void initialize()
4. {
5.     for (int i=0; i<10; i++)
6.     {
7.         g[i] = i;
8.         n[i] = 1;   // 團體編號從 0 到 9，每團都是一個人。
9.     }
10. }
12. void union(int x, int y)
13. {
14.     if (g[x] == g[y]) return;
15.     groups--;
16.     int gmax = max(g[x], g[y]), gmin = min(g[x], g[y]);
17.     for (int i=0; i<10; i++)
18.         if (g[i] == gmax)
19.         {
20.             g[i] = gmin;
21.             n[gmax]--;  // 團體編號為 gmax 的人數減少一人
22.             n[gmin]++;  // 團體編號為 gmin 的人數增加一人
23.         }
24. }
26. int cardinality(int gn)
27. {
28.     return n[gn];
29. }

int n[10]; // 每個團體的人數 void initialize() { for (int i=0; i<10; i++) { g[i] = i; n[i] = 1; // 團體編號從 0 到 9，每團都是一個人。 } } void union(int x, int y) { if (g[x] == g[y]) return; groups--; int gmax = max(g[x], g[y]), gmin = min(g[x], g[y]); for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gmax) { g[i] = gmin; n[gmax]--; // 團體編號為 gmax 的人數減少一人 n[gmin]++; // 團體編號為 gmin 的人數增加一人 } } int cardinality(int gn) { return n[gn]; }

根據團體的人數多寡來做union

合併團體時，將小的團體併入大的團體，可以節省一點點設定團體和增減人數所需的時間。

 

1. void union(int x, int y)
2. {
3.     if (g[x] == g[y]) return;
4.     groups--;
5.     int gmax = x, gmin = y;
6.     if (n[x] > n[y]) swap(gmax, gmin);
7.     for (int i=0; i<10; i++)
8.         if (g[i] == gmax)
9.         {
10.             g[i] = gmin;
11.             n[gmax]--;
12.             n[gmin]++;
13.         }
14. }

void union(int x, int y) { if (g[x] == g[y]) return; groups--; int gmax = x, gmin = y; if (n[x] > n[y]) swap(gmax, gmin); for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gmax) { g[i] = gmin; n[gmax]--; n[gmin]++; } }

Singleton Set: 團體是否合併過？

自己一個人一組，沒有union過。

 

1. bool singleton(int x)
2. {
3.     return member[x] == 1;
4. }

bool singleton(int x) { return member[x] == 1; }

時間複雜度

union為O(N)，find、equivalence、cardinality、singleton為O(1)。

如果有N個人，全部的人都union過一遍，每次union要花O(N)時間，總共是花O(N^2)時間。

空間複雜度

如果有N個人，就需要一條N格的陣列，為O(N)。

UVa 10608

Disjoint Sets: Disjoint-set Linked Lists

Disjoint-set Linked Lists

和Set Linked Lists的方式是一樣的。【待補文字】

Disjoint Sets: Disjoint-set Forest

Disjoint-set Forest

讓一條int陣列的第x格代表第x人──不過，格子裡改成填上x的老大是誰：

 

1. int g[10];  // 紀錄每個人的老大
2. g[0] = 0;   // 第 0 人的老大是第 0 人
3. g[1] = 0;   // 第 1 人的老大是第 0 人
4. g[2] = 1;   // 第 2 人在老大是第 1 人
5. …
6. g[9] = 3;   // 第 9 人在老大是第 8 人

int g[10]; // 紀錄每個人的老大 g[0] = 0; // 第 0 人的老大是第 0 人 g[1] = 0; // 第 1 人的老大是第 0 人 g[2] = 1; // 第 2 人在老大是第 1 人 … g[9] = 3; // 第 9 人在老大是第 8 人

有一點像是老鼠會，也可以看作是圖論所提到的有根樹（rooted tree）。各位可能會有一個疑問：一個團體之中，每個人都有一個老大，那麼某君的老大是誰呢？可以暫且設定成自己：

以無法向上追溯的設定，來代表這個人是團體的大頭目。團體的所有成員，他們往上追溯之後，會是同一個頭目。一個團體中，也只會有一個頭目，由他來支配團體、做為團體的代表。

一個團體就像是一棵分支很複雜的有根樹，不過卻是萬流歸宗的。這些團體構成了一叢森林，故名Disjoint-set Forest。

初始化

一開始大家還沒開始分團的時候，其實可以想做是：每個人都不同團，每個人都是自己一人一團，而且自己當頭目。根據上述的設定方是，要將第x格的值設成x，這樣每個人就都是不同團體的頭目了。

 

1. int p[10];
3. void initialize()
4. {
5.     for (int x=0; x<10; x++)
6.         p[x] = x;
7. }

int p[10]; void initialize() { for (int x=0; x<10; x++) p[x] = x; }

Find: 找出一個人在哪一團？

接下來談談頭目吧。頭目在一個團體之中扮演舉足輕重的角色，一個團體只會有一個頭目，所以可以用頭目做為一個團體的代表。

 

1. int find(int x)
2. {
3.     // 當 x 不是頭目，就繼續追本溯源，直到找到頭目。
4.     while (x != p[x])
5.         x = p[x];
6.     return x;
7. }

int find(int x) { // 當 x 不是頭目，就繼續追本溯源，直到找到頭目。 while (x != p[x]) x = p[x]; return x; }

 

1. int find(int x)
2. {
3.     return x == p[x] ? x : find(p[x]);
4. }

int find(int x) { return x == p[x] ? x : find(p[x]); }

find的時候可以順便把遇到的人，將其老大都設為頭目。如此一來下次find的時候就會變更快了。

 

1. int find(int x)
2. {
3.     return x == p[x] ? x : p[x] = find(p[x]);
4. }

int find(int x) { return x == p[x] ? x : p[x] = find(p[x]); }

Union: 兩個人想合併自己所屬團體

目標是將x y兩個團體做合併，並重新選出一個頭目。最簡單的方式是：讓x的頭目帶著他所有小弟，投靠y團體的隨便一個人之下，如此一來兩個團體就擁有共同的頭目了，也依然保持著老鼠會的架構。

 

1. void union(int x, int y)
2. {
3.     return p[find(x)] = y;
4. }

void union(int x, int y) { return p[find(x)] = y; }

union的時候，直接投靠對方的老大，可以讓樹的深度增加最少。如此一來下次find的時候就會變更快了。

 

1. void union(int x, int y)
2. {
3.     return p[find(x)] = find(y);
4. }

void union(int x, int y) { return p[find(x)] = find(y); }

實做小叮嚀：union要確保投奔的人是頭目，投奔後頭目只有一個。另外也要避免同團體的人互相設定彼此是頭目，否則find會無限循環。

Equivalent Relation: 兩個人是否同團？

同一個團體中的成員，他們的頭目都是同一個人。要看兩個人是不是同一團，看看他們的頭目是不是同一人就行了。

 

1. bool equivalence(int x, int y)
2. {
3.     return find(x) == find(y);
4. }

bool equivalence(int x, int y) { return find(x) == find(y); }

Number of Sets: 全部總共有幾個團體？

兩團合併成一團後，總團體數就會減少一團。所以只要修改一下union的程式碼就可以了。

 

1. int groups = 10;    // 團體數
3. void union(int x, int y)
4. {
5.     x = find(x); y = find(y);
6.     if (x == y) return;
7.     groups--;   // 兩團合併成一團，總團體數就會減少一團。
8.     p[x] = y;
9. }

int groups = 10; // 團體數 void union(int x, int y) { x = find(x); y = find(y); if (x == y) return; groups--; // 兩團合併成一團，總團體數就會減少一團。 p[x] = y; }

Cardinality of a Set: 一個團體總共有幾個人？

先前提到頭目可以支配、代表一個團體，所以把焦點放在頭目上吧。嘗試開一個陣列來記錄頭目帶領的人數，n[頭目] = 頭目帶領的人數。

以團體的角度來看：兩團合併成一團後，團體人數就會改變。以人的角度來看：當一個人所屬的團體被改變時，就調整人數。所以只要修改一下union的程式碼就可以了。

 

1. int n[10];  // 每個頭目帶領的人數
3. void initialize()
4. {
5.     for (int i=0; i<10; i++)
6.     {
7.         g[i] = i;
8.         n[i] = 1;   // 頭目有第 0 到第 9 人，每團都是一個人。
9.     }
10. }
12. void union(int x, int y)
13. {
14.     x = find(x); y = find(y);
15.     if (x == y) return;
16.     groups--;
17.     n[y] += n[x];   // 新頭目吸收人數
18.     n[x] = 0;       // 舊頭目不再帶領人
19.     p[x] = y;
20. }
22. int cardinality(int x)
23. {
24.     return n[find(x)];
25. }

int n[10]; // 每個頭目帶領的人數 void initialize() { for (int i=0; i<10; i++) { g[i] = i; n[i] = 1; // 頭目有第 0 到第 9 人，每團都是一個人。 } } void union(int x, int y) { x = find(x); y = find(y); if (x == y) return; groups--; n[y] += n[x]; // 新頭目吸收人數 n[x] = 0; // 舊頭目不再帶領人 p[x] = y; } int cardinality(int x) { return n[find(x)]; }

Singleton Set: 團體是否合併過？

自己一個人一組，沒有union過。

 

1. bool singleton(int x)
2. {
3.     return n[find(x)] == 1;
4. }

bool singleton(int x) { return n[find(x)] == 1; }

也就是自已當頭目的意思。

 

1. bool singleton(int x)
2. {
3.     return p[x] == x;
4. }

bool singleton(int x) { return p[x] == x; }

時間複雜度

union、find、singleton、equivalence的平均時間是Ω(α(N))，無法更低了，cardinality為O(1)。其中α(N)是Ackermann function f(N,N)的反函數。我不會證。【待補文字】

空間複雜度

如果有N個人，就需要一條N格的陣列，為O(N)。

UVa 793 879 10158 10505 10583 10608 10685

Empty Set: 空集合

之前我們都未處理空集合。現在我們要改良原本的方法，讓它可以處理空集合，而效率仍然保持一樣。

先將資料結構做點改變。現在將陣列的第0格當作是一個空集合，不代表任何人。總人數如果有100人，那麼就要開101格的陣列。第0格是空集合，第1格到第100格，分別代表著100個人。

現在既然有了空集合，便可將頭目的老大設定為空集合，更具義理。也就是說，初始化時要將陣列的初始值都改成0。

 

1. int g[10+1];
3. void initialize()
4. {
5.     for (int x=0; x<10+1; x++)
6.         p[x] = 0;
7. }

int g[10+1]; void initialize() { for (int x=0; x<10+1; x++) p[x] = 0; }

 

1. void empty(int x)
2. {
3.     return x == 0;
4. }

void empty(int x) { return x == 0; }

多了空集合，就要另外考慮空集合做聯集時的影響。不管什麼集合，只要和空集合作聯集，集合都不會改變。所以，凡是遇到空集合，就不必做聯集了。

 

1. void union(int x, int y)
2. {
3.     x = find(x); y = find(y);
4.     if (x == y || x == 0 || y == 0) return;
5.     return p[x] = y;
6. }

void union(int x, int y) { x = find(x); y = find(y); if (x == y || x == 0 || y == 0) return; return p[x] = y; }

其他部分大致都不變，就不另外說明了。

Disjoint Sets進階應用

Disjoint Sets進階應用（UVa 10608）

我們可將Disjoint Set運用在結交朋友上面。但是樹立敵人該怎麼做呢？

先來整理一下Disjoint-set Forest的概念：

一、每個團體的頭目只有一個。每個團體的成員，他們的頭目都一樣，頭目可以視為一個團體的代表。

二、紀錄每個團體的人數時，我們利用了一條陣列，令n[頭目] = 頭目帶領的人數。

靈感來了：如法炮製，開一條類似記錄團體人數的陣列，用來紀錄頭目的敵人是哪一個頭目，意義同於紀錄敵對團體。

初始化

一開始大家都是沒有敵人的。

 

1. int enemy[10+1];
3. void intialize()
4. {
5.     // 一開始每個人的敵人都是空集合
6.     for (int i=0; i<10+1; i++)
7.         enemy[i] = 0;
8. }

int enemy[10+1]; void intialize() { // 一開始每個人的敵人都是空集合 for (int i=0; i<10+1; i++) enemy[i] = 0; }

樹立敵人

兩個團體的頭目互相設定彼此是敵人即可。

 

1. void set_enemy(int x, int y)
2. {
3.     int a = find(x), b = find(y);
4.     enemy[a] = b;   // a 的敵人是 b
5.     enemy[b] = a;   // b 的敵人是 a
6. }

void set_enemy(int x, int y) { int a = find(x), b = find(y); enemy[a] = b; // a 的敵人是 b enemy[b] = a; // b 的敵人是 a }

有一些意外狀況要考慮清楚。一、在a b互相設定為敵人之前，a b其實都各自有敵人了；二、a本來沒有敵人，b本來沒有敵人，或者a b本來都沒有敵人；三、a的敵人可能早就是b了，b的敵人也可能早就是a了，或者早就互為敵人了；四、a b互為朋友，不可能互為敵人。

第一點：在a b互相設定為敵人之前，a b其實都各自有敵人了。按照題意，a的敵人，是b的朋友，所以a b互設敵人，要將a既有的敵人，併入b的團體中；同理，也要將b既有的敵人，併入a的團體中。

 

1. void set_enemy(int x, int y)
2. {
3.     int a = find(x), b = find(y);
4.     union(enemy[a], b); // a 的敵人，是 b 的朋友
5.     union(enemy[b], a); // b 的敵人，是 a 的朋友
7.     enemy[a] = b;
8.     enemy[b] = a;
9. }

void set_enemy(int x, int y) { int a = find(x), b = find(y); union(enemy[a], b); // a 的敵人，是 b 的朋友 union(enemy[b], a); // b 的敵人，是 a 的朋友 enemy[a] = b; enemy[b] = a; }

第二點：a本來沒有敵人，b本來沒有敵人，或者a b本來都沒有敵人。我們的聯集程式碼可以處理空集合，沒有問題。

 

1. void set_enemy(int x, int y)
2. {
3.     int a = find(x), b = find(y);
4.     union(enemy[a], b); // 空集合做聯集，沒有問題
5.     union(enemy[b], a);
7.     enemy[a] = b;
8.     enemy[b] = a;
9. }

void set_enemy(int x, int y) { int a = find(x), b = find(y); union(enemy[a], b); // 空集合做聯集，沒有問題 union(enemy[b], a); enemy[a] = b; enemy[b] = a; }

第三點：a的敵人可能早就是b了，b的敵人也可能早就是a了，或者早就互為敵人了。我們的聯集程式碼可以處理相同集合做聯集，沒有問題。

 

1. void set_enemy(int x, int y)
2. {
3.     int a = find(x), b = find(y);
4.     union(enemy[a], b); // 相同集合做聯集，沒有問題
5.     union(enemy[b], a);
7.     enemy[a] = b;
8.     enemy[b] = a;
9. }

void set_enemy(int x, int y) { int a = find(x), b = find(y); union(enemy[a], b); // 相同集合做聯集，沒有問題 union(enemy[b], a); enemy[a] = b; enemy[b] = a; }

若是 enemy[a] == b，按照union的程式碼，enemy[a]和b不會真的做union。所以沒有必要增加程式碼。維持第二點的程式碼即可。

第四點：a b互為朋友，不可能互為敵人。這會導致矛盾，所以要修改一下程式碼，預防這個情況。

 

1. void set_enemy(int x, int y)
2. {
3.     int a = find(x), b = find(y);
5.     if (a == b) // a 和 b 在同一個團體
6.         cout << "發生了矛盾" << endl;
7.     else
8.     {
9.         union(enemy[a], b);
10.         union(enemy[b], a);
12.         enemy[a] = b;
13.         enemy[b] = a;
14.     }
15. }

void set_enemy(int x, int y) { int a = find(x), b = find(y); if (a == b) // a 和 b 在同一個團體 cout << "發生了矛盾" << endl; else { union(enemy[a], b); union(enemy[b], a); enemy[a] = b; enemy[b] = a; } }

結交朋友

由於現在多了enemy陣列的關係，交友就不能單純的只做union了。

如同樹立敵人，有一些意外狀況要考慮清楚。一、在a b互相設定為朋友之前，a b其實都各自有朋友了；二、a本來沒有朋友，b本來沒有朋友，或者a b本來都沒有朋友；三、a的朋友可能早就是b了，b的朋友也可能早就是a了，或者早就互為朋友了；四、a b互為敵人，不可能互為朋友。

第一點。其實就是union的概念。

 

1. void set_friend(int x, int y)
2. {
3.     union(x, y);
4. }

void set_friend(int x, int y) { union(x, y); }

第二點。仍是union的概念。

第三點。我們的聯集程式碼可以處理相同集合做聯集，沒有問題。

第四點。這會導致矛盾，所以要修改一下程式碼。

 

1. void set_friend(int x, int y)
2. {
3.     int a = find(x), b = find(y);
5.     if (enemy[a] == b || enemy[b] == a)
6.         cout << "發生了矛盾" << endl;
7.     else
8.         union(a, b);
9. }

转自http://acm.nudt.edu.cn/~twcourse/DisjointSets.html