如上图,是一个AOE网,点表示状态,边表示活动及其所需要的时间。为了求出关键路径,我们使用一下算法:
1.求出到达各个状态的最早时间(按最大计)
这个过程是要从源点开始向汇点顺推:
- V1是源点,其最早开始时间是0。
- V2、V3、V4最早时间分别是是6、4、5。
- 对于V5而言,V2到V5所花费时间是6+1=7,而V3到V5所花费时间是4+1=5。我们要按最大计,也就是V5最早时间是max{7,5}=7,按最大计是因为只有活动a4和a5同时完成了,才能到达V5状态。V3到V5需要5分钟,但是此时a4活动尚未完成(7分钟),所以都不能算到达V5,故而要按最大计。
- V6只有从V4到达,所以V6的最早完成时间是(5+2=)7。
- 同理,V7最早完成时间是16。
- 对于V8而言,和V5处理方法一致。V8=max{V5+7,V6+4}={7+7,7+4}=14。
- V9可算出是18。
这样,我们可以得到各个状态的最早时间的表:
![](http://upload-images.jianshu.io/upload_images/6168671-466d7c018bc625fe.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/182)
最早时间表
2.求出到达各个状态的最晚时间(按最小计)
这个过程是要从汇点开始向源点逆推:
- V9完成时间为18,最V7最迟开始时间是(18-2=)16
逆推
因为活动a10所需时间2。如果V7开始时间比16晚,则V9完成时间就会比18晚,这显然不对。 - 同理,V8最迟开始时间为14。
- 对于V5而言,可以从V7、V8两个点开始向前推算,此时要按最小计,即V5(最晚)=min{V7-9,V8-7}=min{16-9,14-7}=7。
请注意!!,min{V7-9,V8-7}中,V7、V8取的都是前面算出的最迟开始时间(而不是最早开始时间)。
按最小计
按最小计,是因为如果按最大计去计算V5的最晚开始时间,那么加上a7和a8的活动时间后,V7、V8至少有一个会比之前逆推算得出的最晚时间还要晚,这就发生了错误。 - 同理,可计算出剩下的点
这样,我们可以得到各个状态的最晚时间的表:
![](http://upload-images.jianshu.io/upload_images/6168671-0d33d0d92518bfff.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/352)
最晚时间表
事实上,源点和汇点的最晚时间和最早时间必定是相同的。
3.求出关键路径
求出关键活动,则关键活动所在路径即为关键路径
对于a1:
![](http://upload-images.jianshu.io/upload_images/6168671-c23b7c25ae79a5f1.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/379)
这表明,a1最早只能从0时刻开始,最晚也只能从(6-6=)0时刻开始,因此,a1是关键活动。
对于a2:
![](http://upload-images.jianshu.io/upload_images/6168671-b0d99b3d792a41cb.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/363)
a2最早要从0时刻开始,但是它最晚开始时间却是(6-4=)2。也就是说,从0开始做,4时刻即完成;从2开始做,6时刻恰好完成。从而在[0,2]区间内任意时间开始做a2都能保证按时完成。(请区别顶点的最早最晚和活动的最早最晚时间。图示中的最早最晚是顶点状态的时间,活动的最早最晚开始时间却是基于此来计算的)。
由于a2的开始时间是不定的,所以它不能主导工程的进度,从而它不是关键活动。
一般的,
![](http://upload-images.jianshu.io/upload_images/6168671-fa54485f9f8eeb15.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/428)
活动用时X时间,它最早要从E1时刻开始(一开始就开始),最晚要从L2-X时刻开始(即恰好完成)。所以,如果它是关键活动,则必然有E1=L2-X,否则它就不是关键活动。
值得注意的是,顶点的最早开始时间等于最晚开始时间 是 该顶点处于关键路径 的 不充分不必要条件。
![](http://upload-images.jianshu.io/upload_images/6168671-79b39dbdc74d6b66.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/359)
上表中蓝色底纹表示的点即为处于关键路径的点。尽管它们的最早时间与最晚时间都相同,但是这与它们是否为关键路径的点无关。因为这还取决于起始点的最早时间以及活动时间。
![](http://upload-images.jianshu.io/upload_images/6168671-72f025a8c628b9e4.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/673)
作者:KyrinWoo
链接:https://www.jianshu.com/p/1857ed4d8128